Au programme de ce chapitre
- I. Dérivée et variations
- II. Dérivée seconde et concavité
- III. L'étude complète d'une fonction
- Savoir-faire
- Exercices types corrigés
- Teste-toi — vrai ou faux ?
- Pièges fréquents et astuces
- À retenir
La définition à retenir
Définition La dérivée seconde f″ est la dérivée de f′. Si f″ > 0 sur I, la courbe est convexe (tournée vers le haut, « en U ») ; si f″ < 0, elle est concave (« en ∩ »). Un point d'inflexion est un point où la concavité change : f″ s'y annule en changeant de signe.
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Un exemple corrigé
Exemple f(x) = x³ − 3x² − 9x + 5. f′(x) = 3x² − 6x − 9 = 3(x + 1)(x − 3).
f(−1) = −1 − 3 + 9 + 5 = 10 et f(3) = 27 − 27 − 27 + 5 = −22.
| x | −∞ | −1 | 3 | +∞ | |
|---|---|---|---|---|---|
| f′(x) | + | 0 | − | 0 | + |
| f(x) | croit | max 10 | décroit | min −22 | croit |
Lexique
- tableau de variations
- tableau qui résume le signe de f′ et le sens de variation de f
- extremum local
- maximum ou minimum de f au voisinage d'un point
- concavité
- orientation de la courbe, donnée par le signe de f″
- point d'inflexion
- point où la courbe change de concavité
Les erreurs fréquentes à éviter
Piège — Confondre le signe de f′ et celui de f. Une fonction peut être négative et croissante (f′ > 0). Dans le tableau de variations, la ligne f′ donne le sens des flèches, pas le signe des valeurs.
Piège — Oublier les valeurs interdites. Dans un tableau pour une fonction rationnelle, les valeurs qui annulent le dénominateur doivent figurer (double barre), car la fonction peut y changer de comportement.
Attention f′(a) = 0 ne suffit pas pour avoir un extremum : pour f(x) = x³, f′(0) = 0 mais f′(x) = 3x² ≥ 0 ne change pas de signe ; f est croissante sur ℝ et 0 n'est ni un maximum ni un minimum (c'est un point d'inflexion à tangente horizontale).
L'astuce du prof
Astuce. Teste la parité : si f(−x) = f(x) ou f(−x) = −f(x), tu n'étudies que x ≥ 0 et tu complètes par symétrie. Tu gagnes la moitié du travail.
Exercices corrigés
Cherche d'abord seul, puis ouvre la correction.
Exercice 1 — Une parabole
Dresse le tableau de variations de f(x) = x² − 4x + 1 et donne son extremum.
Voir la correction
Je dérive : f′(x) = 2x − 4, qui s'annule en x = 2, est négative avant et positive après. La fonction décroît sur ]−∞ ; 2] puis croît sur [2 ; +∞[. L'extremum est un minimum : f(2) = 4 − 8 + 1 = −3.
Exercice 2 — Maximum et minimum locaux
Étudie les variations de f(x) = x³ − 3x et détermine ses extremums locaux.
Voir la correction
f′(x) = 3x² − 3 = 3(x − 1)(x + 1). Le signe est + sur ]−∞ ; −1[, − sur ]−1 ; 1[ et + sur ]1 ; +∞[. La fonction croît, décroît, puis croît. Maximum local : f(−1) = −1 + 3 = 2. Minimum local : f(1) = 1 − 3 = −2.