Au programme de ce chapitre
- I. Définition et terme général
- II. Reconnaitre et résoudre
- Savoir-faire
- Exercices types corrigés
- Teste-toi — vrai ou faux ?
- Pièges fréquents et astuces
- À retenir
La définition à retenir
Définition Une suite est géométrique de raison q si, pour tout n, un+1 = q · un. On passe d'un terme au suivant en multipliant toujours par le même nombre q.
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Un exemple corrigé
Exemple Placement de 2 000 € à 2,5 % par an (intérêts composés) : Cn = 2 000 · 1,025n. Après 10 ans : C10 = 2 000 · 1,02510 ≈ 2 000 · 1,2801 ≈ 2 560,17 €. Une voiture de 25 000 € qui perd 15 % de sa valeur par an vaut 25 000 · 0,853 ≈ 15 353,13 € après 3 ans.
Lexique
- raison (géométrique)
- nombre q par lequel on multiplie pour passer au terme suivant
- intérêts composés
- intérêts ajoutés au capital et qui rapportent à leur tour
- coefficient multiplicateur
- nombre 1 ± t/100 associé à une variation de t %
- moyenne géométrique
- nombre b tel que b² = a · c
Les erreurs fréquentes à éviter
Piège — Additionner les pourcentages. Deux baisses de 20 % successives ne font pas une baisse de 40 % : 0,8 × 0,8 = 0,64, soit 36 %. Passe toujours par les coefficients multiplicateurs.
Piège — Prendre la racine carrée au lieu de la racine adéquate. Si q³ = 8, tu cherches une racine cubique (q = 2), pas une racine carrée. L'exposant est toujours la différence des rangs, n − p.
Attention Une hausse de 10 % suivie d'une baisse de 10 % ne ramène pas au point de départ : 1,1 · 0,9 = 0,99, soit une baisse de 1 %. Les pourcentages successifs se multiplient (coefficients), ils ne s'additionnent pas.
L'astuce du prof
Astuce Pour trouver le premier n tel que qn dépasse un seuil, utilise le tableau de valeurs de ta calculatrice (ou des essais successifs). En 6e, les logarithmes permettront de résoudre ces inéquations par le calcul.
Exercices corrigés
Cherche d'abord seul, puis ouvre la correction.
Exercice 1 — Un terme de rang 4
Une suite géométrique a pour premier terme u0 = 5 et pour raison 3. Calcule u4.
Voir la correction
On multiplie quatre fois par 3 : u4 = 5·3⁴ = 5·81 = 405.
Exercice 2 — Une raison fractionnaire
Une suite géométrique vérifie u2 = 20 et q = 1/2. Calcule u0 et u5.
Voir la correction
Pour remonter de 2 rangs, je divise par q² = 1/4, ce qui revient à multiplier par 4 : u0 = 20 ÷ (14) = 80. Pour descendre jusqu'au rang 5, je multiplie par (12)³ = 18 : u5 = 208 = 5/2.