Au programme de ce chapitre
- I. Sommes de termes
- II. Limite d'une suite
- III. Pièges et entraînement
- Savoir-faire
- Exercices types corrigés
- Teste-toi — vrai ou faux ?
- Pièges fréquents et astuces
- À retenir
La définition à retenir
Définition La suite (un) converge vers le réel L si un devient aussi proche de L que l'on veut pour n assez grand. Précisément : pour tout ε > 0, il existe un rang N tel que, pour tout n ≥ N, |un − L| < ε. On note lim un = L. Une suite qui ne converge pas est divergente (elle peut tendre vers +∞, vers −∞, ou osciller).
🔒 Infographie récapitulative du chapitreIncluse dans le cours complet, avec la méthode et les exercices corrigés.La voir gratuitement pendant 7 jours
Un exemple corrigé
Exemple La balle : elle descend 2 m, puis monte et descend 1,2 m, puis 0,72 m, etc. Distance totale = 2 + 2 · (1,2 + 0,72 + 0,432 + …) = 2 + 2 · 1,2/(1 − 0,6) = 2 + 6 = 8 m.
Autre exemple : 0,999… = 0,9 + 0,09 + 0,009 + … = 0,9/(1 − 0,1) = 1.
Autre exemple : 0,999… = 0,9 + 0,09 + 0,009 + … = 0,9/(1 − 0,1) = 1.
Lexique
- somme partielle
- somme des n premiers termes d'une suite
- convergente
- se dit d'une suite qui tend vers un réel L
- divergente
- se dit d'une suite qui ne converge pas
- série géométrique
- somme infinie des termes d'une suite géométrique
Les erreurs fréquentes à éviter
Piège — Se tromper dans le nombre de termes. Entre 5 et 152 avec une raison de 3, il y a (152 − 5)/3 + 1 = 50 termes, pas 49. Pense à la « barrière » : il faut ajouter 1.
Piège — Appliquer u<sub>1</sub>/(1 − q) sans regarder q. Cette formule suppose |q| < 1. Avec q = −2 ou q = 3, elle donne un résultat absurde car la somme n'existe pas.
Attention La formule u1/(1 − q) n'est valable que si |q| < 1. Pour 1 + 2 + 4 + 8 + …, elle donnerait 1/(1 − 2) = −1, ce qui est absurde : la somme tend vers +∞.
L'astuce du prof
Astuce. Teste ta formule avec une très petite somme (deux ou trois termes) dont tu connais le résultat avant de l'appliquer à la grande.
Exercices corrigés
Cherche d'abord seul, puis ouvre la correction.
Exercice 1 — Une somme arithmétique
Calcule S = 4 + 9 + 14 + … + 104.
Voir la correction
C'est une suite arithmétique de raison 5. Nombre de termes : (104 − 4)/5 + 1 = 21. Alors S = 21·(4 + 104)/2 = 21·54 = 1 134.
Exercice 2 — Une somme géométrique
Calcule 5 + 10 + 20 + … + 5·29.
Voir la correction
Le premier terme est 5 et la raison est q = 2. L'exposant va de 0 à 9 : il y a 10 termes. La formule donne S = 5·(1 − 210)/(1 − 2) = 5·(−1023)/(−1) = 5 115.