Au programme de ce chapitre
- I. Deux méthodes d'ajustement
- II. Utiliser un modèle
- III. Entraînement
- Savoir-faire
- Exercices types corrigés
- Teste-toi — vrai ou faux ?
- Pièges fréquents et astuces
- À retenir
La définition à retenir
Définition Une droite d'ajustement est une droite qui passe « au plus près » des points du nuage.
Méthode de Mayer : on partage le nuage (rangé selon x) en deux groupes de même effectif (à une unité près), on calcule les points moyens G1 et G2, et on trace la droite (G1G2).
Méthode des moindres carrés : on choisit la droite y = ax + b qui rend minimale la somme des carrés des écarts verticaux Σ (yi − axi − b)².
Méthode de Mayer : on partage le nuage (rangé selon x) en deux groupes de même effectif (à une unité près), on calcule les points moyens G1 et G2, et on trace la droite (G1G2).
Méthode des moindres carrés : on choisit la droite y = ax + b qui rend minimale la somme des carrés des écarts verticaux Σ (yi − axi − b)².
Un exemple corrigé
Exemple Reprenons les révisions (1 ; 8), (2 ; 10), (3 ; 11), (4 ; 14), (5 ; 17), avec cov = 4,4 et σx² = 2.
Moindres carrés : a = 4,4 / 2 = 2,2 et b = 12 − 2,2 · 3 = 5,4, d'où y = 2,2x + 5,4.
Mayer : G1(1,5 ; 9) pour les deux premiers points et G2(4 ; 14) pour les trois autres ; pente 5 / 2,5 = 2, d'où y = 2x + 6. Les deux droites sont proches.
Moindres carrés : a = 4,4 / 2 = 2,2 et b = 12 − 2,2 · 3 = 5,4, d'où y = 2,2x + 5,4.
Mayer : G1(1,5 ; 9) pour les deux premiers points et G2(4 ; 14) pour les trois autres ; pente 5 / 2,5 = 2, d'où y = 2x + 6. Les deux droites sont proches.
Lexique
- droite d'ajustement
- droite qui résume la tendance d'un nuage de points
- moindres carrés
- méthode qui minimise la somme des carrés des écarts verticaux
- interpoler
- estimer une valeur à l'intérieur de l'intervalle observé
- extrapoler
- estimer une valeur en dehors de l'intervalle observé
Les erreurs fréquentes à éviter
Piège — Diviser par la mauvaise variance. Pour y en x, on divise par σx². Avec cov = 7/4, σx² = 54 et σy² = 7/2, tu trouverais a = 75 (juste) ou a = 12 (faux).
Piège — Arrondir trop tôt. Si tu arrondis a avant de calculer b = ȳ − a·x̄, l'erreur sur b est multipliée par x̄. Garde les fractions ou plusieurs décimales jusqu'au résultat final.
Attention L'extrapolation est risquée : avec y = 2,2x + 5,4, un élève qui réviserait 8 h aurait 23 /20, ce qui est impossible. Un modèle n'est valable que dans le domaine où il a été construit.
L'astuce du prof
Astuce. Contrôle ta droite en vérifiant que G(x̄ ; ȳ) la vérifie. Si ce n'est pas le cas, l'erreur est dans a ou dans b.
Exercices corrigés
Cherche d'abord seul, puis ouvre la correction.
Exercice 1 — Pente et ordonnée à l'origine
Une série vérifie x̄ = 4, ȳ = 10, cov(x, y) = 6 et σx² = 3. Donne la droite des moindres carrés de y en x.
Voir la correction
La pente est a = 63 = 2. Comme la droite passe par G(4 ; 10), b = 10 − 2·4 = 2. La droite est y = 2x + 2.
Exercice 2 — Moindres carrés sur quatre points
Détermine la droite des moindres carrés pour (1 ; 3), (2 ; 5), (3 ; 4), (4 ; 8).
Voir la correction
Les moyennes valent x̄ = 52 et ȳ = 5. Moyenne des xy : (3 + 10 + 12 + 32)/4 = 57/4, donc cov = 574 − (52)·5 = 574 − 504 = 7/4. Variance de x : (1 + 4 + 9 + 16)/4 − 254 = 304 − 254 = 5/4. Alors a = (74)/(54) = 75 = 1,4 et b = 5 − 1,4·2,5 = 1,5. Droite : y = 1,4x + 1,5.