Au programme de ce chapitre
- I. Du taux de variation au nombre dérivé
- II. Dérivabilité et fonction dérivée
- III. Pièges et entraînement
- Savoir-faire
- Exercices types corrigés
- Teste-toi — vrai ou faux ?
- Pièges fréquents et astuces
- À retenir
La définition à retenir
Définition Le taux de variation de f entre a et a + h est [f(a + h) − f(a)]/h : c'est la pente de la sécante passant par les points d'abscisses a et a + h.
Si ce taux a une limite finie quand h → 0, f est dérivable en a et cette limite est le nombre dérivé :
f′(a) = limh→0 [f(a + h) − f(a)]/h.
Si ce taux a une limite finie quand h → 0, f est dérivable en a et cette limite est le nombre dérivé :
f′(a) = limh→0 [f(a + h) − f(a)]/h.
🔒 Infographie récapitulative du chapitreIncluse dans le cours complet, avec la méthode et les exercices corrigés.La voir gratuitement pendant 7 jours
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Un exemple corrigé
Exemple Approximation affine : pour f(x) = √x, on admet f′(x) = 1/(2√x) (chapitre suivant). Alors √4,1 ≈ √4 + 0,1 · 1/(2 · 2) = 2 + 0,025 = 2,025 (valeur exacte : 2,0248…).
Lexique
- taux de variation
- pente de la sécante [f(a + h) − f(a)]/h
- nombre dérivé
- limite du taux de variation quand h tend vers 0
- tangente
- droite qui épouse la courbe au voisinage d'un point
- dérivable
- se dit d'une fonction dont le taux de variation a une limite finie
Les erreurs fréquentes à éviter
Piège — Remplacer h par 0 trop tôt. Si tu poses h = 0 avant de simplifier, tu obtiens 0/0 qui ne dit rien. Développe, simplifie par h, et seulement alors passe à la limite.
Piège — Oublier f(a) dans la tangente. L'équation est y − f(a) = f′(a)(x − a). Écrire y = f′(a)(x − a) revient à supposer f(a) = 0, ce qui est presque toujours faux.
Attention Développe entièrement f(a + h) avant de simplifier par h : on ne peut diviser par h que lorsque chaque terme restant au numérateur contient h. Si tu obtiens « 0/0 » en remplaçant h par 0 trop tôt, c'est que la simplification n'est pas faite.
L'astuce du prof
Astuce. Après avoir trouvé ta tangente, contrôle qu'elle passe bien par le point (a ; f(a)) : remplace x par a dans l'équation et tu dois retrouver f(a).
Exercices corrigés
Cherche d'abord seul, puis ouvre la correction.
Exercice 1 — Un taux de variation
Soit f(x) = 2x² − x. Calcule le taux de variation de f entre x = 1 et x = 3.
Voir la correction
Je calcule f(1) = 2 − 1 = 1 et f(3) = 18 − 3 = 15. Le taux de variation est (15 − 1)/(3 − 1) = 142 = 7. C'est la pente de la sécante entre les points (1 ; 1) et (3 ; 15).
Exercice 2 — Nombre dérivé et tangente
Soit f(x) = x² − 3x. Calcule f′(2) par la définition et donne l'équation de la tangente en x = 2.
Voir la correction
f(2) = 4 − 6 = −2. Ensuite f(2 + h) = (2 + h)² − 3(2 + h) = 4 + 4h + h² − 6 − 3h = −2 + h + h². Le taux est (h + h²)/h = 1 + h, qui tend vers 1 quand h tend vers 0 : f′(2) = 1. Tangente : y + 2 = 1·(x − 2), soit y = x − 4.