Au programme de ce chapitre
- I. Équations d'une droite
- II. Équations d'un plan
- III. Pièges et entraînement
- Savoir-faire
- Exercices types corrigés
- Teste-toi — vrai ou faux ?
- Pièges fréquents et astuces
- À retenir
La définition à retenir
Définition La droite d passant par A(xA ; yA ; zA) et de vecteur directeur u = (a ; b ; c) non nul est l'ensemble des points P tels que AP = ku (k réel).
Équations paramétriques : x = xA + ka ; y = yA + kb ; z = zA + kc.
Équations cartésiennes (si a, b, c ≠ 0) : (x − xA)/a = (y − yA)/b = (z − zA)/c. Dans l'espace, une droite est décrite par deux équations cartésiennes.
Équations paramétriques : x = xA + ka ; y = yA + kb ; z = zA + kc.
Équations cartésiennes (si a, b, c ≠ 0) : (x − xA)/a = (y − yA)/b = (z − zA)/c. Dans l'espace, une droite est décrite par deux équations cartésiennes.
🔒 Infographie récapitulative du chapitreIncluse dans le cours complet, avec la méthode et les exercices corrigés.La voir gratuitement pendant 7 jours
Un exemple corrigé
Exemple Plan passant par A(1 ; 0 ; 2), B(2 ; 1 ; 0) et C(0 ; 1 ; 1). Vecteurs directeurs : AB = (1 ; 1 ; −2) et AC = (−1 ; 1 ; −1). On cherche n = (a ; b ; c) orthogonal aux deux : a + b − 2c = 0 et −a + b − c = 0. En additionnant : 2b = 3c ; avec c = 2, on trouve b = 3 et a = 1. Équation : x + 3y + 2z + d = 0, et A donne 1 + 4 + d = 0, d'où x + 3y + 2z − 5 = 0. Contrôle : B donne 2 + 3 + 0 − 5 = 0 ✔ et C donne 0 + 3 + 2 − 5 = 0 ✔.
Lexique
- vecteur directeur
- vecteur non nul qui donne la direction d'une droite
- équations paramétriques
- coordonnées exprimées à l'aide d'un ou deux paramètres réels
- équation cartésienne
- équation reliant x, y et z, sans paramètre
- vecteur normal à un plan
- vecteur (a ; b ; c) orthogonal au plan ax + by + cz + d = 0
Les erreurs fréquentes à éviter
Piège — Conclure « sécantes » avec deux équations seulement. Avec deux droites de l'espace, il faut vérifier les trois équations. Si la troisième est fausse, les droites sont gauches.
Piège — Confondre vecteur normal et vecteur directeur. Pour un plan, (a ; b ; c) est un vecteur normal, perpendiculaire au plan. Un vecteur directeur est parallèle au plan : il vérifie a·x + b·y + c·z = 0.
Attention Dans l'espace, une seule équation ax + by + cz + d = 0 représente un plan, pas une droite. Et deux plans sont parallèles si leurs vecteurs normaux sont colinéaires : x + 2y − z = 3 et 2x + 4y − 2z = 1 sont parallèles (distincts).
L'astuce du prof
Astuce. Après avoir trouvé l'équation d'un plan par trois points, remplace les coordonnées de chacun des trois points : les trois doivent donner 0.
Exercices corrigés
Cherche d'abord seul, puis ouvre la correction.
Exercice 1 — Appartenance à une droite
La droite d passe par A(1 ; −2 ; 3) et a pour vecteur directeur u = (2 ; 1 ; −1). Écris ses équations paramétriques et dis si B(5 ; 0 ; 1) et C(3 ; −1 ; 4) lui appartiennent.
Voir la correction
x = 1 + 2k, y = −2 + k, z = 3 − k. Pour B(5 ; 0 ; 1), 1 + 2k = 5 donne k = 2 ; alors y = −2 + 2 = 0 et z = 3 − 2 = 1 : B appartient à d. Pour C(3 ; −1 ; 4), 1 + 2k = 3 donne k = 1 ; alors y = −1 convient mais z = 3 − 1 = 2 ≠ 4 : C n'appartient pas à d.
Exercice 2 — Une droite et un plan de coordonnées
Soient A(1 ; 2 ; 2) et B(3 ; −1 ; 6). Donne un vecteur directeur de (AB), ses équations paramétriques et le point où elle perce le plan z = 0.
Voir la correction
AB = (3 − 1 ; −1 − 2 ; 6 − 2) = (2 ; −3 ; 4). Équations : x = 1 + 2k, y = 2 − 3k, z = 2 + 4k. Le plan z = 0 est atteint quand 2 + 4k = 0, soit k = −1/2. Le point correspondant est (1 − 1 ; 2 + 32 ; 0) = (0 ; 72 ; 0).