Au programme de ce chapitre
- I. Définitions
- II. Calculer des angles et des longueurs
- III. Pièges et entraînement
- Savoir-faire
- Exercices types corrigés
- Teste-toi — vrai ou faux ?
- Pièges fréquents et astuces
- À retenir
La définition à retenir
Définition Le produit scalaire de deux vecteurs u et v est le nombre u · v = ‖u‖ · ‖v‖ · cos θ, où θ est l'angle entre les deux vecteurs (et 0 si l'un d'eux est nul).
Interprétation par projection : si H est la projection orthogonale de C sur la droite AB, alors AB · AC = AB · AH, qui vaut |AB| · |AH| si AH a le sens de AB, et −|AB| · |AH| sinon.
Interprétation par projection : si H est la projection orthogonale de C sur la droite AB, alors AB · AC = AB · AH, qui vaut |AB| · |AH| si AH a le sens de AB, et −|AB| · |AH| sinon.
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Un exemple corrigé
Exemple u = (1 ; 2 ; 2) et v = (2 ; −1 ; 2) : u · v = 2 − 2 + 4 = 4, ‖u‖ = ‖v‖ = 3, donc cos θ = 49 et θ ≈ 63,6°.
Démonstration d'Al-Kashi : BC = AC − AB, donc |BC|² = (AC − AB)² = |AC|² + |AB|² − 2 AB · AC = b² + c² − 2bc cos A.
Démonstration d'Al-Kashi : BC = AC − AB, donc |BC|² = (AC − AB)² = |AC|² + |AB|² − 2 AB · AC = b² + c² − 2bc cos A.
Lexique
- produit scalaire
- nombre ‖u‖ ‖v‖ cos θ, aussi égal à xx′ + yy′ + zz′
- orthogonaux
- se dit de vecteurs dont le produit scalaire est nul
- projection orthogonale
- pied de la perpendiculaire abaissée d'un point sur une droite
- vecteur normal
- vecteur perpendiculaire à une droite ou à un plan
Les erreurs fréquentes à éviter
Piège — Mauvais vecteurs pour l'angle. Pour l'angle en A, utilise AB et AC, qui partent tous deux de A. Utiliser AB et CA donne l'angle supplémentaire (le cosinus change de signe).
Piège — Oublier de diviser par les normes. u · v n'est pas cos θ : il faut diviser par ‖u‖·‖v‖. Un cosinus supérieur à 1 ou inférieur à −1 signale cette erreur.
Attention Le produit scalaire est un nombre, pas un vecteur : on ne peut pas écrire (u · v) · w comme un produit scalaire. La formule xx′ + yy′ + zz′ n'est valable que dans un repère orthonormé. Un produit scalaire négatif signale un angle obtus, ce n'est pas une erreur.
L'astuce du prof
Astuce. Pour prouver qu'un angle est droit, calcule simplement le produit scalaire : s'il est nul, plus besoin de calculer des longueurs ni d'arccos.
Exercices corrigés
Cherche d'abord seul, puis ouvre la correction.
Exercice 1 — Orthogonalité
Montre que u = (3 ; −2 ; 1) et v = (2 ; 5 ; 4) sont orthogonaux.
Voir la correction
Je calcule le produit scalaire : u · v = 3·2 + (−2)·5 + 1·4 = 6 − 10 + 4 = 0. Il est nul, donc u et v sont orthogonaux.
Exercice 2 — Un angle dans un triangle
Soient A(−1 ; 2), B(3 ; 5) et C(5 ; 1). Calcule l'amplitude de l'angle en A du triangle ABC, au dixième de degré.
Voir la correction
Les vecteurs issus de A sont AB = (4 ; 3) et AC = (6 ; −1). Leur produit scalaire vaut 4·6 + 3·(−1) = 21. Les normes sont ‖AB‖ = √(16 + 9) = 5 et ‖AC‖ = √(36 + 1) = √37. Donc cos A = 21/(5√37) ≈ 0,6905 et A ≈ 46,3°.