Au programme de ce chapitre
- I. Notion de limite
- II. Lever une indétermination
- III. Pièges et entraînement
- Savoir-faire
- Exercices types corrigés
- Teste-toi — vrai ou faux ?
- Pièges fréquents et astuces
- À retenir
La définition à retenir
Définition limx→a f(x) = L signifie que f(x) devient aussi proche de L que l'on veut dès que x est assez proche de a (avec x ≠ a). Formellement : pour tout ε > 0, il existe δ > 0 tel que 0 < |x − a| < δ ⇒ |f(x) − L| < ε.
On parle de limite à gauche (x → a−, x < a) et à droite (x → a+, x > a). La limite en a existe si ces deux limites existent et sont égales.
On parle de limite à gauche (x → a−, x < a) et à droite (x → a+, x > a). La limite en a existe si ces deux limites existent et sont égales.
Un exemple corrigé
Exemple limx→1− 1/(x − 1) = −∞ (dénominateur négatif et proche de 0) et limx→1+ 1/(x − 1) = +∞. La limite en 1 n'existe donc pas, mais la droite x = 1 est une asymptote verticale.
Lexique
- limite
- valeur dont f(x) s'approche quand x s'approche de a ou de l'infini
- indétermination
- forme comme 0/0 ou ∞ − ∞ qui ne permet pas de conclure directement
- expression conjuguée
- √A + B pour √A − B, pour faire disparaitre la racine
- limite à gauche
- limite quand x s'approche de a par des valeurs plus petites
Les erreurs fréquentes à éviter
Piège — Conclure « 0/0 = 0 » ou « ∞ − ∞ = 0 ». Ces écritures signalent qu'il faut transformer l'expression (factoriser, conjuguer, mettre en évidence) avant de conclure.
Piège — Oublier √(x²) = |x|. En −∞, x est négatif : √(x²) = −x et non x. Le signe change le résultat de la limite dès que tu sors un x d'une racine.
Attention « 0/0 » ou « ∞ − ∞ » n'est pas un résultat : c'est le signal qu'il faut transformer l'expression. Ne conclus jamais 0/0 = 0 ou ∞ − ∞ = 0. Et pour un « nombre/0 », étudie le signe du dénominateur à gauche et à droite.
L'astuce du prof
Astuce. Contrôle une limite avec la table de la calculatrice : calcule f(x) pour x très proche de a (0,001 ; 0,0001) ou très grand (1 000 ; 1 000 000).
Exercices corrigés
Cherche d'abord seul, puis ouvre la correction.
Exercice 1 — Substitution
Calcule limx→2 (x² + 3x − 1).
Voir la correction
Un polynôme est continu : je remplace simplement x par 2. On trouve 4 + 6 − 1 = 9.
Exercice 2 — Un quotient en +∞
Calcule limx→+∞ (5x² − 3x)/(2x² + 7).
Voir la correction
Le terme dominant est x² aux deux niveaux. J'écris x²(5 − 3/x) / [x²(2 + 7/x²)] = (5 − 3/x)/(2 + 7/x²). Quand x tend vers +∞, 3/x et 7/x² tendent vers 0, donc la limite vaut 5/2.