Au programme de ce chapitre
- I. Formules d'addition
- II. Duplication, Carnot et Simpson
- III. Pièges et entraînement
- Savoir-faire
- Exercices types corrigés
- Teste-toi — vrai ou faux ?
- Pièges fréquents et astuces
- À retenir
Un exemple corrigé
Exemple cos 15° = cos(45° − 30°) = cos 45° cos 30° + sin 45° sin 30° = (√22)(√32) + (√22)(12) = (√6 + √2)/4 ≈ 0,9659.
Extrait du cours
Peut-on calculer cos 15° exactement, sans calculatrice ? Oui, en écrivant 15° = 45° − 30°. Les formules d'addition et de duplication permettent de transformer des expressions trigonométriques, de calculer des valeurs exactes et de résoudre des équations plus complexes.
Lexique
- formule d'addition
- formule exprimant cos(a ± b) ou sin(a ± b) avec cos a, sin a, cos b, sin b
- duplication
- formule pour l'angle double 2a
- formules de Carnot
- expressions de cos² a et sin² a à l'aide de cos 2a
- formules de Simpson
- transformation d'une somme de sinus ou de cosinus en produit
Les erreurs fréquentes à éviter
Piège — Croire que sin et cos sont « linéaires ». sin 2a ≠ 2 sin a et cos(a + b) ≠ cos a + cos b. Vérifie toujours avec des angles remarquables si tu doutes.
Piège — Oublier le signe en extrayant une racine. Si cos² a = 16/25, alors cos a = ±4/5. Le quadrant de a décide du signe : positif pour un angle aigu, négatif pour un angle obtus.
Attention Les fonctions trigonométriques ne sont pas « linéaires » : sin(a + b) ≠ sin a + sin b et sin 2a ≠ 2 sin a. Contre-exemple : sin(30° + 60°) = sin 90° = 1, alors que sin 30° + sin 60° = 12 + √32 ≈ 1,37. Et pense au signe selon le quadrant quand tu extrais une racine.
L'astuce du prof
Astuce. Pour retrouver le signe d'une formule d'addition, teste a = b = 0 ou a = b : cos(a − a) = 1 impose bien cos² + sin² avec un signe « + ».
Exercices corrigés
Cherche d'abord seul, puis ouvre la correction.
Exercice 1 — Une valeur exacte
Calcule la valeur exacte de cos 105°.
Voir la correction
Je décompose 105° = 60° + 45°. Alors cos 105° = cos 60° cos 45° − sin 60° sin 45° = (12)(√22) − (√32)(√22) = √24 − √64 = (√2 − √6)/4 ≈ −0,259. Le résultat est négatif, ce qui est normal pour un angle obtus.
Exercice 2 — Somme de deux angles
Les angles aigus a et b vérifient tan a = 12 et tan b = 1/3. Calcule tan(a + b), puis déduis la valeur de a + b.
Voir la correction
Par la formule d'addition, tan(a + b) = (12 + 13)/(1 − (12)(13)) = (56)/(56) = 1. Les angles a et b sont aigus avec tan a < 1 et tan b < 1, donc ils sont inférieurs à π/4 et a + b est dans ]0 ; π/2[. Le seul angle de cet intervalle dont la tangente vaut 1 est π/4 : a + b = π/4.