Au programme de ce chapitre
- I. Axiomes et positions relatives
- II. Théorèmes de parallélisme
- III. Pièges et entraînement
- Savoir-faire
- Exercices types corrigés
- Teste-toi — vrai ou faux ?
- Pièges fréquents et astuces
- À retenir
Un exemple corrigé
Exemple Dans le cube ABCDEFGH (ABCD en bas, E au-dessus de A, F au-dessus de B, etc.) : (AB) et (HG) sont parallèles (toutes deux parallèles à (DC)) ; (AB) et (CG) sont gauches ; (AE) est parallèle au plan (BCG), car elle est parallèle à (BF) qui est incluse dans ce plan ; les plans (ABC) et (EFG) sont parallèles.
Extrait du cours
Dans une pièce, deux arêtes du plafond et du sol peuvent ne jamais se rencontrer sans être parallèles. L'espace a ses propres règles : ce chapitre apprend à reconnaitre les positions relatives de droites et de plans, et à construire la section d'un solide par un plan, sans calcul.
| Objets | Positions possibles |
|---|---|
| Deux droites | sécantes (un point commun, coplanaires) ; parallèles (coplanaires, sans point commun ou confondues) ; gauches (non coplanaires, donc sans point commun) |
| Une droite et un plan | sécants (un point commun) ; parallèles (aucun point commun) ; droite incluse dans le plan |
| Deux plans | sécants (selon une droite) ; parallèles (distincts ou confondus) |
Lexique
- droites gauches
- droites non coplanaires, qui ne se coupent pas et ne sont pas parallèles
- coplanaires
- situés dans un même plan
- section
- intersection d'un solide et d'un plan
- théorème du toit
- règle sur l'intersection de deux plans contenant deux droites parallèles
Les erreurs fréquentes à éviter
Piège — Se fier au dessin en perspective. Deux droites qui semblent se couper sur le dessin peuvent être gauches. Pour affirmer qu'elles sont sécantes, prouve qu'elles sont dans un même plan.
Piège — « Pas de point commun » ne signifie pas « parallèles ». Dans l'espace, il faut ajouter qu'elles sont coplanaires. Sinon elles sont gauches.
Attention Sur un dessin en perspective, deux droites qui semblent se couper ne se coupent pas forcément : elles peuvent être gauches. Pour affirmer qu'elles sont sécantes, il faut d'abord prouver qu'elles sont coplanaires. Et « ne pas se couper » ne suffit pas pour être parallèles dans l'espace.
L'astuce du prof
Astuce. Dans un cube, repère trois directions (largeur, profondeur, hauteur) : toutes les arêtes et les diagonales de faces se rangent dans ces directions ou dans des directions de diagonales, ce qui simplifie l'étude des parallélismes.
Exercices corrigés
Cherche d'abord seul, puis ouvre la correction.
Exercice 1 — Deux droites du cube
Dans le cube ABCDEFGH (ABCD en bas, E au-dessus de A), donne la position relative des droites : a) (AE) et (CG) ; b) (AB) et (DH) ; c) (BC) et (EH) ; d) (AB) et (AD).
Voir la correction
a) (AE) et (CG) sont deux arêtes verticales : elles sont parallèles (ACGE est un rectangle).
b) (AB) est dans le plan du bas et (DH) le coupe seulement en D, point qui n'est pas sur (AB) : elles ne sont ni parallèles ni sécantes, donc gauches.
c) (BC) ∥ (AD) et (AD) ∥ (EH) : (BC) et (EH) sont parallèles.
d) (AB) et (AD) se coupent en A : sécantes.
b) (AB) est dans le plan du bas et (DH) le coupe seulement en D, point qui n'est pas sur (AB) : elles ne sont ni parallèles ni sécantes, donc gauches.
c) (BC) ∥ (AD) et (AD) ∥ (EH) : (BC) et (EH) sont parallèles.
d) (AB) et (AD) se coupent en A : sécantes.
Exercice 2 — Droite et plan
Dans le même cube, donne la position relative de : a) (EF) et le plan (ABC) ; b) (AE) et le plan (ABC) ; c) (FG) et le plan (BCG) ; d) (DH) et le plan (BCG).
Voir la correction
a) (EF) est parallèle à (AB), qui est dans le plan (ABC), et n'est pas incluse dans ce plan : droite et plan sont parallèles.
b) (AE) coupe le plan (ABC) en A, mais n'y est pas incluse : sécants.
c) F et G sont deux points de la face BCGF, donc la droite (FG) est incluse dans le plan (BCG).
d) (DH) ∥ (CG), et (CG) est incluse dans (BCG), tandis que D n'est pas dans ce plan : droite et plan sont parallèles.
b) (AE) coupe le plan (ABC) en A, mais n'y est pas incluse : sécants.
c) F et G sont deux points de la face BCGF, donc la droite (FG) est incluse dans le plan (BCG).
d) (DH) ∥ (CG), et (CG) est incluse dans (BCG), tandis que D n'est pas dans ce plan : droite et plan sont parallèles.