Au programme de ce chapitre
- I. La démarche
- II. Un exemple avec contrainte
- III. Pièges et entraînement
- Savoir-faire
- Exercices types corrigés
- Teste-toi — vrai ou faux ?
- Pièges fréquents et astuces
- À retenir
Un exemple corrigé
Exemple Dans un carton carré de 30 cm de côté, on découpe un carré de côté x dans chaque coin et on replie les bords pour former une boite sans couvercle. Volume : V(x) = x(30 − 2x)², avec 0 < x < 15.
V′(x) = (30 − 2x)² + x · 2(30 − 2x)(−2) = (30 − 2x)(30 − 2x − 4x) = (30 − 2x)(30 − 6x).
Sur ]0 ; 15[, V′ s'annule seulement en x = 5 ; V′ > 0 avant, V′ < 0 après. Le volume est maximal pour x = 5 cm : V(5) = 5 · 20² = 2 000 cm³.
V′(x) = (30 − 2x)² + x · 2(30 − 2x)(−2) = (30 − 2x)(30 − 2x − 4x) = (30 − 2x)(30 − 6x).
Sur ]0 ; 15[, V′ s'annule seulement en x = 5 ; V′ > 0 avant, V′ < 0 après. Le volume est maximal pour x = 5 cm : V(5) = 5 · 20² = 2 000 cm³.
Lexique
- optimiser
- rechercher la valeur maximale ou minimale d'une grandeur
- contrainte
- condition imposée qui relie les variables
- domaine de validité
- valeurs de x qui ont un sens dans la situation
- optimum
- maximum ou minimum recherché
Les erreurs fréquentes à éviter
Piège — Oublier le domaine. Une solution de f′(x) = 0 qui sort du domaine n'a aucun sens dans la situation (longueur négative…). Écris toujours le domaine avant de dériver.
Piège — Répondre à côté. Si on te demande l'aire maximale, la valeur de x n'est pas la réponse : calcule A(x) à l'optimum et ajoute l'unité (m², cm³…).
Attention Trouver un x tel que f′(x) = 0 ne suffit pas : vérifie avec le tableau de variations qu'il s'agit bien d'un maximum (ou d'un minimum) et qu'il appartient au domaine. Si la fonction est monotone sur le domaine, l'optimum est atteint à une borne.
L'astuce du prof
Astuce Si la grandeur à optimiser est une racine carrée (par exemple une distance √(g(x))), il suffit d'optimiser g(x) : la racine est croissante, donc le minimum de √g est atteint au même x que celui de g.
Exercices corrigés
Cherche d'abord seul, puis ouvre la correction.
Exercice 1 — Deux nombres de somme 20
Parmi les couples de réels de somme 20, lequel a le produit maximal ? Quel est ce produit ?
Voir la correction
Soit x le premier nombre : le second vaut 20 − x et le produit est P(x) = x(20 − x) = 20x − x². Sa dérivée est P′(x) = 20 − 2x, positive avant 10 et négative après. Le maximum est atteint pour x = 10, donc les deux nombres valent 10 et le produit maximal est 100.
Exercice 2 — Un enclos de 72 m²
On veut clôturer un enclos rectangulaire d'aire 72 m² avec le moins de grillage possible. Quelles dimensions choisir et quelle longueur de grillage faut-il ?
Voir la correction
Soit x la largeur (x > 0) : la longueur vaut 72/x et le périmètre P(x) = 2x + 144/x. Alors P′(x) = 2 − 144/x², qui s'annule en x² = 72, soit x = 6√2 ≈ 8,49 m. P′ est négative avant et positive après : c'est un minimum. La longueur vaut 72/(6√2) = 6√2 m : l'enclos est un carré de côté ≈ 8,49 m, avec un grillage de 24√2 ≈ 33,94 m.