Au programme de ce chapitre
- I. Les trois fonctions de référence
- II. La fonction f(x) = a sin(b(x − c)) + d
- III. Pièges et entraînement
- Savoir-faire
- Exercices types corrigés
- Teste-toi — vrai ou faux ?
- Pièges fréquents et astuces
- À retenir
La définition à retenir
Définition Pour tout réel x (angle en radians), sin x et cos x sont l'ordonnée et l'abscisse du point du cercle trigonométrique associé à x. tan x = sin x/cos x, définie si cos x ≠ 0. Une fonction f est périodique de période T si f(x + T) = f(x) pour tout x de son domaine.
🔒 Infographie récapitulative du chapitreIncluse dans le cours complet, avec la méthode et les exercices corrigés.La voir gratuitement pendant 7 jours
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Un exemple corrigé
Exemple La hauteur (en m) d'une nacelle d'une grande roue de 50 m de diamètre, dont l'axe est à 27 m du sol et qui fait un tour en 8 minutes, peut se modéliser par h(t) = 27 − 25 cos(2πt/8) : à t = 0, la nacelle est en bas (2 m) ; à t = 4 min, elle est au sommet (52 m).
Lexique
- période
- plus petit T > 0 tel que f(x + T) = f(x)
- amplitude
- demi-écart entre le maximum et le minimum
- déphasage
- décalage horizontal d'une sinusoïde
- sinusoïde
- courbe de la forme a sin(b(x − c)) + d
Les erreurs fréquentes à éviter
Piège — Mal lire le déphasage. Dans sin(2x − π/3), le déphasage vaut π/6 et non π/3 : il faut factoriser le coefficient de x avant de lire c.
Piège — Calculer la période avec a ou d. Seul le coefficient b de x compte : T = 2π/|b|. L'amplitude a et la constante d ne changent pas la période.
Attention Dans sin(2x − π), le déphasage n'est pas π : il faut mettre b en évidence, sin(2x − π) = sin(2(x − π/2)), donc c = π/2. Et la période dépend de b seulement : 3 sin(x) et sin(x) ont la même période 2π.
L'astuce du prof
Astuce. Pour tracer vite, repère d'abord la droite y = d (axe de la vague), les deux droites y = d ± |a| entre lesquelles la courbe reste, puis place cinq points sur une période.
Exercices corrigés
Cherche d'abord seul, puis ouvre la correction.
Exercice 1 — Amplitude et période
Pour f(x) = 2 sin(3x), donne l'amplitude, la période, les zéros et la valeur de f(π/6).
Voir la correction
L'amplitude est |2| = 2 et la période T = 2π/3. Les zéros vérifient sin(3x) = 0, donc 3x = kπ, soit x = kπ/3. Enfin f(π/6) = 2 sin(π/2) = 2 : c'est un maximum.
Exercice 2 — Un tableau de valeurs
Pour g(x) = −3 cos(x/2) + 2, donne la période, le maximum, le minimum, et calcule g aux points 0, π, 2π, 3π, 4π.
Voir la correction
Ici b = 1/2, donc T = 2π/(12) = 4π. Les extrêmes sont 2 + 3 = 5 et 2 − 3 = −1. Aux cinq points x/2 vaut 0, π/2, π, 3π/2, 2π, donc cos(x/2) vaut 1, 0, −1, 0, 1 et g vaut respectivement −1, 2, 5, 2, −1. Le maximum 5 est atteint en x = 2π.