Au programme de ce chapitre
- I. Les nombres trigonométriques
- II. Le triangle quelconque
- III. Pièges et entraînement
- Savoir-faire
- Exercices types corrigés
- Teste-toi — vrai ou faux ?
- Pièges fréquents et astuces
- À retenir
La définition à retenir
Définition Dans un triangle rectangle, pour un angle aigu α :
sin α = côté opposé / hypoténuse ; cos α = côté adjacent / hypoténuse ; tan α = côté opposé / côté adjacent.
Sur le cercle trigonométrique (centre O, rayon 1, repère orthonormé), le point P associé à l'angle α a pour coordonnées (cos α ; sin α) : cette définition vaut pour n'importe quelle amplitude, même obtuse ou négative.
sin α = côté opposé / hypoténuse ; cos α = côté adjacent / hypoténuse ; tan α = côté opposé / côté adjacent.
Sur le cercle trigonométrique (centre O, rayon 1, repère orthonormé), le point P associé à l'angle α a pour coordonnées (cos α ; sin α) : cette définition vaut pour n'importe quelle amplitude, même obtuse ou négative.
🔒 Infographie récapitulative du chapitreIncluse dans le cours complet, avec la méthode et les exercices corrigés.La voir gratuitement pendant 7 jours
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Un exemple corrigé
Exemple Triangle avec A = 40°, B = 75° et c = 10 m. Alors C = 180° − 40° − 75° = 65°.
a = 10 · sin 40° / sin 65° ≈ 10 · 0,6428 / 0,9063 ≈ 7,09 m ; b = 10 · sin 75° / sin 65° ≈ 10 · 0,9659 / 0,9063 ≈ 10,66 m.
Contrôle : b est le plus grand côté, opposé au plus grand angle (75°).
a = 10 · sin 40° / sin 65° ≈ 10 · 0,6428 / 0,9063 ≈ 7,09 m ; b = 10 · sin 75° / sin 65° ≈ 10 · 0,9659 / 0,9063 ≈ 10,66 m.
Contrôle : b est le plus grand côté, opposé au plus grand angle (75°).
Lexique
- hypoténuse
- côté opposé à l'angle droit, le plus long du triangle rectangle
- cercle trigonométrique
- cercle de centre O et de rayon 1, parcouru dans le sens antihorlogique
- Al-Kashi
- formule a² = b² + c² − 2bc cos A, valable dans tout triangle
- résoudre un triangle
- calculer toutes ses longueurs et toutes ses amplitudes
Les erreurs fréquentes à éviter
Piège — La calculatrice n'est pas en degrés. Si ta machine est en radians, sin 30° s'affiche −0,988 au lieu de 0,5. Vérifie le mode (DEG) avant chaque série de calculs.
Piège — Oublier la deuxième solution d'un angle. Quand tu cherches un angle avec un sinus, ta calculatrice ne donne que l'angle aigu. L'angle supplémentaire a le même sinus : teste-le toujours avec la somme des angles du triangle.
Attention La règle des sinus utilisée pour trouver un angle peut donner deux solutions : sin B = 0,8 donne B ≈ 53,1° ou B ≈ 126,9°. Vérifie lesquelles sont compatibles avec la somme des angles. Avec Al-Kashi, le cosinus lève toute ambigüité (un cosinus négatif signale un angle obtus). Et règle ta calculatrice en degrés !
L'astuce du prof
Astuce. Pour trouver un angle, préfère Al-Kashi : le signe du cosinus dit tout de suite si l'angle est aigu (positif) ou obtus (négatif), sans ambiguïté.
Exercices corrigés
Cherche d'abord seul, puis ouvre la correction.
Exercice 1 — Un triangle rectangle 5-12-13
Dans un triangle rectangle, l'hypoténuse mesure 13 cm et le côté opposé à l'angle α mesure 5 cm. Calcule sin α, cos α et tan α.
Voir la correction
Le côté adjacent vaut √(13² − 5²) = √144 = 12 cm. Donc sin α = 5/13, cos α = 1213 et tan α = 5/12. Contrôle : (513)² + (1213)² = 25169 + 144169 = 1.
Exercice 2 — Angles associés
Donne la valeur exacte de sin 150°, cos 135°, sin(−60°) et tan 120°.
Voir la correction
J'écris 150° = 180° − 30°, donc sin 150° = sin 30° = 1/2. De même 135° = 180° − 45° donne cos 135° = −cos 45° = −√2/2. Ensuite sin(−60°) = −sin 60° = −√3/2. Enfin tan 120° = sin 120° / cos 120° = (√32) / (−12) = −√3.