Au programme de ce chapitre
- I. Définition
- II. Le théorème des valeurs intermédiaires
- III. Pièges et entraînement
- Savoir-faire
- Exercices types corrigés
- Teste-toi — vrai ou faux ?
- Pièges fréquents et astuces
- À retenir
La définition à retenir
Définition Une fonction f est continue en a si : 1) f(a) existe ; 2) limx→a f(x) existe ; 3) cette limite est égale à f(a). Autrement dit : limx→a f(x) = f(a). f est continue sur un intervalle si elle est continue en chacun de ses points.
Un exemple corrigé
Exemple f(x) = x³ + x − 1 est continue (polynôme), f(0) = −1 < 0 et f(1) = 1 > 0 : l'équation x³ + x − 1 = 0 a une solution entre 0 et 1. Comme f est strictement croissante (somme de deux fonctions croissantes), cette solution est unique.
Lexique
- continue
- se dit d'une fonction dont la limite en a égale f(a)
- définie par morceaux
- fonction donnée par des formules différentes selon l'intervalle
- valeurs intermédiaires
- théorème garantissant qu'une fonction continue passe par toutes les valeurs entre f(a) et f(b)
- dichotomie
- méthode qui coupe l'intervalle en deux à chaque étape
Les erreurs fréquentes à éviter
Piège — Oublier l'hypothèse de continuité. Le théorème des valeurs intermédiaires exige la continuité sur tout l'intervalle. Avec f(x) = (x + 1)/(x − 1) sur [0 ; 2], on a f(0) = −1 et f(2) = 3, mais f est interrompue en 1 : l'équation f(x) = 0 n'a aucune solution dans ]0 ; 2[.
Piège — Confondre existence et unicité. Le théorème garantit au moins une solution. Pour affirmer qu'il n'y en a qu'une, il faut montrer que la fonction est strictement monotone sur l'intervalle.
Attention L'hypothèse de continuité est indispensable : f(x) = 1/x vérifie f(−1) = −1 < 0 et f(1) = 1 > 0, mais ne s'annule jamais, car elle n'est pas continue sur [−1 ; 1] (elle n'est pas définie en 0).
L'astuce du prof
Astuce. Pour une fonction définie par morceaux, ne vérifie que les points de raccord : à l'intérieur de chaque morceau, les polynômes sont déjà continus.
Exercices corrigés
Cherche d'abord seul, puis ouvre la correction.
Exercice 1 — Boucher un trou
La fonction f est définie par f(x) = (x² − 4)/(x − 2) pour x ≠ 2. Quelle valeur faut-il donner à f(2) pour qu'elle soit continue en 2 ?
Voir la correction
Pour x ≠ 2, f(x) = (x − 2)(x + 2)/(x − 2) = x + 2, donc la limite en 2 vaut 4. Pour avoir la continuité, il faut f(2) = 4.
Exercice 2 — Un seul raccord
Soit f(x) = 3x + 1 si x ≤ 1 et f(x) = x² + k si x > 1. Détermine k pour que f soit continue en 1.
Voir la correction
Valeur et limite à gauche : f(1) = 3·1 + 1 = 4. Limite à droite : 1² + k = 1 + k. La continuité demande 1 + k = 4, donc k = 3.