Au programme de ce chapitre
- I. Trois sortes d'asymptotes
- II. Asymptote oblique et position de la courbe
- III. Entraînement
- Savoir-faire
- Exercices types corrigés
- Teste-toi — vrai ou faux ?
- Pièges fréquents et astuces
- À retenir
La définition à retenir
Définition Asymptote verticale (AV) : la droite x = a si f(x) tend vers +∞ ou −∞ quand x tend vers a (à gauche ou à droite).
Asymptote horizontale (AH) : la droite y = b si limx→+∞ f(x) = b ou limx→−∞ f(x) = b.
Asymptote oblique (AO) : la droite y = mx + p (m ≠ 0) si lim [f(x) − (mx + p)] = 0 quand x → +∞ ou x → −∞.
Asymptote horizontale (AH) : la droite y = b si limx→+∞ f(x) = b ou limx→−∞ f(x) = b.
Asymptote oblique (AO) : la droite y = mx + p (m ≠ 0) si lim [f(x) − (mx + p)] = 0 quand x → +∞ ou x → −∞.
Un exemple corrigé
Exemple f(x) = (2x + 1)/(x − 3) : le dénominateur s'annule en 3 (et pas le numérateur), donc AV x = 3. Degrés égaux : AH y = 21 = 2.
Lexique
- asymptote
- droite dont la courbe se rapproche indéfiniment
- fonction rationnelle
- quotient de deux polynômes
- degré
- plus grand exposant de x dans un polynôme
- division euclidienne
- écriture P = Q · quotient + reste, avec deg reste < deg Q
Les erreurs fréquentes à éviter
Piège — Ne pas simplifier avant de conclure. Un dénominateur nul ne donne pas toujours une asymptote : si le numérateur s'annule aussi en a, il faut simplifier. Tu peux n'avoir qu'un trou.
Piège — Mélanger les équations. Une asymptote verticale s'écrit x = a et une horizontale y = b. Écrire « y = 2 » pour une verticale ou « x = 1 » pour une horizontale est une erreur d'énoncé.
Attention Simplifie toujours la fraction avant de conclure. f(x) = (x² − 1)/(x − 1) = x + 1 pour x ≠ 1 : en x = 1, il n'y a pas d'asymptote verticale mais un « trou » au point (1 ; 2), car la limite vaut 2.
L'astuce du prof
Astuce. Pour la position par rapport à une asymptote oblique, ne recalcule rien : le reste de la division, divisé par Q(x), donne directement le signe de f(x) − (mx + p).
Exercices corrigés
Cherche d'abord seul, puis ouvre la correction.
Exercice 1 — Deux asymptotes
Donne les asymptotes de f(x) = (x + 4)/(x − 2).
Voir la correction
Le dénominateur s'annule en 2 et le numérateur vaut 6 en ce point : asymptote verticale x = 2. Les degrés sont égaux (1 et 1), donc l'asymptote horizontale est y = 11 = 1.
Exercice 2 — Dénominateur de degré 2
Donne les asymptotes de f(x) = (2x − 3)/(x² − 1).
Voir la correction
Comme x² − 1 = (x − 1)(x + 1), le dénominateur s'annule en 1 et en −1. Le numérateur vaut −1 en x = 1 et −5 en x = −1, jamais zéro : il y a deux asymptotes verticales, x = 1 et x = −1. Le degré du numérateur (1) est inférieur à celui du dénominateur (2), donc l'asymptote horizontale est y = 0.