Au programme de ce chapitre
- I. Série double et nuage de points
- II. Covariance et coefficient de corrélation
- III. Interpréter avec prudence
- Savoir-faire
- Exercices types corrigés
- Teste-toi — vrai ou faux ?
- Pièges fréquents et astuces
- À retenir
La définition à retenir
Définition Une série statistique à deux variables associe à chaque individu un couple (xi ; yi). Placés dans un repère, ces couples forment le nuage de points. Le point moyen est G(x̄ ; ȳ), où x̄ et ȳ sont les moyennes des deux variables.
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Un exemple corrigé
Exemple Cinq élèves notent leurs heures de révision x et leur note y sur 20 : (1 ; 8), (2 ; 10), (3 ; 11), (4 ; 14), (5 ; 17). Moyennes : x̄ = 155 = 3 et ȳ = 605 = 12. Point moyen : G(3 ; 12). Le nuage « monte » de gauche à droite et semble presque aligné.
Lexique
- nuage de points
- représentation des couples (x ; y) dans un repère
- point moyen
- point G(x̄ ; ȳ) dont les coordonnées sont les moyennes
- covariance
- moyenne des produits des écarts à la moyenne
- coefficient de corrélation
- nombre r entre −1 et 1 qui mesure la force du lien linéaire
Les erreurs fréquentes à éviter
Piège — Oublier la racine carrée. Au dénominateur de r figurent les écarts-types σx et σy, pas les variances. Avec les variances 2 et 2, le dénominateur est √(2·2) = 2 et non 4.
Piège — Conclure à une cause. Un r proche de 1 montre que deux variables évoluent ensemble, pas que l'une provoque l'autre. Cherche un éventuel troisième facteur avant d'affirmer quoi que ce soit.
Attention Corrélation n'est pas causalité. À la côte belge, les ventes de glaces et le nombre de coups de soleil sont fortement corrélés, mais les glaces ne provoquent pas les coups de soleil : un troisième facteur, l'ensoleillement, agit sur les deux.
L'astuce du prof
Astuce. Le coefficient r ne dépend pas des unités : mesurer x en centimètres ou en mètres ne le change pas. Tu peux donc simplifier les données (diviser par 100, enlever un décalage) avant de calculer.
Exercices corrigés
Cherche d'abord seul, puis ouvre la correction.
Exercice 1 — Un point moyen
Trois élèves de 5e secondaire ont lu x livres pendant l'été et obtenu y points à un test : (1 ; 3), (2 ; 5), (3 ; 7). Calcule le point moyen du nuage.
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Il suffit de moyenner chaque variable : x̄ = (1 + 2 + 3)/3 = 2 et ȳ = (3 + 5 + 7)/3 = 5. Le point moyen est G(2 ; 5).
Exercice 2 — Une covariance
Calcule la covariance de la série (0 ; 2), (1 ; 3), (2 ; 7), (3 ; 8).
Voir la correction
Je passe par la formule pratique. Moyennes : x̄ = 64 = 32 et ȳ = 204 = 5. Produits xy : 0, 3, 14, 24, de moyenne 41/4. Alors cov = 414 − (32)·5 = 414 − 304 = 114 = 2,75. Elle est positive : les variables évoluent dans le même sens.