Au programme de ce chapitre
- I. Dérivées des fonctions de référence
- II. Appliquer les règles
- III. Pièges et entraînement
- Savoir-faire
- Exercices types corrigés
- Teste-toi — vrai ou faux ?
- Pièges fréquents et astuces
- À retenir
Un exemple corrigé
Exemple • f(x) = (x² + 1) sin x : produit, f′(x) = 2x sin x + (x² + 1) cos x.
• g(x) = (3x² − 1)4 : composée, g′(x) = 4(3x² − 1)³ · 6x = 24x(3x² − 1)³.
• h(x) = √(x² + 5) : h′(x) = 2x/(2√(x² + 5)) = x/√(x² + 5).
• k(x) = sin(3x − π/4) : k′(x) = 3 cos(3x − π/4).
• g(x) = (3x² − 1)4 : composée, g′(x) = 4(3x² − 1)³ · 6x = 24x(3x² − 1)³.
• h(x) = √(x² + 5) : h′(x) = 2x/(2√(x² + 5)) = x/√(x² + 5).
• k(x) = sin(3x − π/4) : k′(x) = 3 cos(3x − π/4).
Extrait du cours
Calculer chaque dérivée avec la définition serait long et fastidieux. Heureusement, quelques formules et règles permettent de dériver presque toutes les fonctions rencontrées en 5e : polynômes, fractions, racines, fonctions trigonométriques et leurs combinaisons.
| f(x) | f′(x) | Domaine de dérivabilité |
|---|---|---|
| k (constante) | 0 | ℝ |
| xn (n entier) | n xn−1 | ℝ (ℝ0 si n < 0) |
| 1/x | −1/x² | ℝ0 |
| √x | 1/(2√x) | ]0 ; +∞[ |
| sin x | cos x | ℝ |
| cos x | −sin x | ℝ |
| tan x | 1/cos² x = 1 + tan² x | x ≠ π/2 + kπ |
Lexique
- règle du produit
- (uv)′ = u′v + uv′
- règle du quotient
- (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
- fonction composée
- fonction de la forme f(g(x))
- dérivée intérieure
- dérivée g′(x) de la fonction « à l'intérieur » d'une composée
Les erreurs fréquentes à éviter
Piège — Oublier la dérivée intérieure. Pour (x² + 3x)⁵, on ne s'arrête pas à 5(x² + 3x)⁴ : il faut multiplier par (2x + 3). Sans ce facteur, tout le reste de l'étude est faux.
Piège — Intervertir les termes du quotient. Le numérateur est u′v − uv′, dans cet ordre. Si tu écris uv′ − u′v, tu obtiens l'opposé de la bonne dérivée et tu inverses les variations.
Attention La dérivée d'un produit n'est pas le produit des dérivées : (x · x)′ = 2x, alors que 1 · 1 = 1. Dans la règle du quotient, l'ordre compte : u′v − uv′ (et non uv′ − u′v). Pour une composée, n'oublie pas de multiplier par la dérivée « intérieure ».
L'astuce du prof
Astuce Avant de dériver, simplifie si possible : f(x) = (x³ + 2x)/x = x² + 2 (pour x ≠ 0) se dérive en 2x, sans règle du quotient. De même, √x = x12 et 1/x² = x−2 se dérivent avec la règle des puissances : (x−2)′ = −2x−3 = −2/x³.
Exercices corrigés
Cherche d'abord seul, puis ouvre la correction.
Exercice 1 — Un polynôme
Dérive f(x) = 3x⁴ − 2x² + 5x − 7.
Voir la correction
Terme par terme avec (xn)′ = n·xn−1 : f′(x) = 12x³ − 4x + 5. La constante −7 disparaît.
Exercice 2 — Un produit
Dérive f(x) = (x² + 1)(3x − 2) et vérifie en développant d'abord.
Voir la correction
Avec u = x² + 1 et v = 3x − 2, u′ = 2x et v′ = 3 : f′(x) = 2x(3x − 2) + 3(x² + 1) = 6x² − 4x + 3x² + 3 = 9x² − 4x + 3. Vérification : f(x) = 3x³ − 2x² + 3x − 2, dont la dérivée est bien 9x² − 4x + 3.