Au programme de ce chapitre
- I. Le radian
- II. Angles orientés et mesure principale
- III. Pièges et entraînement
- Savoir-faire
- Exercices types corrigés
- Teste-toi — vrai ou faux ?
- Pièges fréquents et astuces
- À retenir
La définition à retenir
Définition Un angle au centre d'un cercle mesure 1 radian s'il intercepte un arc de longueur égale au rayon. Un tour complet mesure 2π rad (la circonférence vaut 2πr), donc π rad = 180°.
Un exemple corrigé
Exemple Une roue de vélo de rayon 35 cm tourne de 3π/2 rad : un point du pneu parcourt ℓ = 35 · 3π/2 ≈ 164,9 cm. Si elle fait 5 tours, l'angle vaut 10π rad et le vélo avance de 35 · 10π ≈ 1 099,6 cm, soit environ 11 m.
Lexique
- radian
- angle qui intercepte un arc de longueur égale au rayon
- sens trigonométrique
- sens antihorlogique, compté positivement
- mesure principale
- mesure d'un angle orienté comprise dans ]−π ; π]
- secteur circulaire
- portion de disque limitée par deux rayons
Les erreurs fréquentes à éviter
Piège — Calculatrice en degrés. Si les angles sont exprimés avec π, passe en mode radian : sin(π/6) doit donner 0,5. En mode degré, la machine répond une valeur minuscule.
Piège — Se tromper d'intervalle. La mesure principale se choisit dans ]−π ; π], pas dans [0 ; 2π[. Par exemple 7π/4 a pour mesure principale −π/4.
Attention Règle ta calculatrice en mode radian (RAD) dès que les angles sont exprimés avec π ou sans le symbole °. sin(30) en mode radian donne −0,988…, pas 0,5. Les formules ℓ = rθ et A = r²θ/2 sont fausses avec θ en degrés.
L'astuce du prof
Astuce. Retiens que 180° = π, puis reconstitue : 90° = π/2, 60° = π/3, 45° = π/4, 30° = π/6. Les autres angles s'en déduisent par multiples.
Exercices corrigés
Cherche d'abord seul, puis ouvre la correction.
Exercice 1 — Conversions
Convertis 150° en radians et 3π/4 en degrés.
Voir la correction
150° = 150·π/180 = 5π/6 rad. Dans l'autre sens, 3π/4 rad = (3π/4)·(180/π) = 135°.
Exercice 2 — Mesures principales
Donne la mesure principale des angles de mesures 19π/4 et −7π/3.
Voir la correction
Pour 19π/4, j'enlève 2 tours (4π = 16π/4) : 19π/4 − 16π/4 = 3π/4, qui est dans ]−π ; π]. Pour −7π/3, j'ajoute un tour (2π = 6π/3) : −7π/3 + 6π/3 = −π/3, qui est bien dans l'intervalle.