Au programme de ce chapitre
- I. Suites numériques et suites arithmétiques
- II. Reconnaitre et utiliser
- Savoir-faire
- Exercices types corrigés
- Teste-toi — vrai ou faux ?
- Pièges fréquents et astuces
- À retenir
La définition à retenir
Définition Une suite numérique (un) associe un nombre réel un à chaque naturel n. Elle peut être donnée par une formule explicite (un = 3n + 2) ou par récurrence (u0 = 2 et un+1 = un + 3).
La suite est arithmétique de raison r si, pour tout n, un+1 = un + r.
La suite est arithmétique de raison r si, pour tout n, un+1 = un + r.
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Un exemple corrigé
Exemple Carte d'escalade : un = prix total après n séances. u0 = 20 et r = 6, donc un = 20 + 6n. Après 15 séances : u15 = 20 + 90 = 110 €.
Lexique
- suite
- liste ordonnée de nombres u0, u1, u2…
- raison
- nombre constant r ajouté pour passer d'un terme au suivant
- récurrence
- définition d'un terme à partir du précédent
- terme général
- formule qui donne un en fonction de n
Les erreurs fréquentes à éviter
Piège — Se tromper de premier terme. Si la suite commence à u1, le terme général est un = u1 + (n − 1)·r. Utiliser n au lieu de n − 1 décale ton résultat d'une raison entière.
Piège — Compter les écarts, pas les termes. Entre u4 et u11, il y a 11 − 4 = 7 écarts et non 8 termes à ajouter. Pour la raison, divise par 7.
Attention Repère bien le premier terme : si la suite commence à u1, la formule devient un = u1 + (n − 1)·r. Confondre les deux décale tous les résultats d'un rang. Et vérifier sur trois termes ne prouve rien : il faut un calcul valable pour tout n.
L'astuce du prof
Astuce. Pour résoudre un ≥ seuil, remplace un par sa formule et résous l'inéquation ; puis contrôle en calculant le terme trouvé et celui d'avant.
Exercices corrigés
Cherche d'abord seul, puis ouvre la correction.
Exercice 1 — Un terme lointain
Une suite arithmétique a pour premier terme u0 = 7 et pour raison 4. Donne un puis u12.
Voir la correction
La formule directe donne un = 7 + 4n. Pour n = 12, u12 = 7 + 48 = 55.
Exercice 2 — Un terme connu et la raison
Une suite arithmétique vérifie u5 = 17 et r = −3. Calcule u0 et u12. La suite est-elle croissante ?
Voir la correction
En remontant de 5 rangs, j'ajoute 5 raisons : u0 = 17 − 5·(−3) = 32. Ensuite u12 = u5 + 7·(−3) = 17 − 21 = −4. La raison est négative, donc la suite est décroissante.