Au programme de ce chapitre
- I. Vecteurs et opérations
- II. Composantes dans un repère
- III. Pièges et entraînement
- Savoir-faire
- Exercices types corrigés
- Teste-toi — vrai ou faux ?
- Pièges fréquents et astuces
- À retenir
La définition à retenir
Définition Un vecteur AB est caractérisé par une direction (celle de la droite AB), un sens (de A vers B) et une norme ‖AB‖ = |AB|. Deux vecteurs sont égaux s'ils ont même direction, même sens et même norme : AB = DC ⇔ ABCD est un parallélogramme (éventuellement aplati).
🔒 Infographie récapitulative du chapitreIncluse dans le cours complet, avec la méthode et les exercices corrigés.La voir gratuitement pendant 7 jours
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Un exemple corrigé
Exemple A(1 ; 2 ; −1) et B(3 ; −1 ; 4) : AB = (2 ; −3 ; 5), ‖AB‖ = √(4 + 9 + 25) = √38 ≈ 6,16, milieu M(2 ; 12 ; 32).
u = (2 ; −4 ; 6) et v = (−1 ; 2 ; −3) sont colinéaires, car u = −2v.
u = (2 ; −4 ; 6) et v = (−1 ; 2 ; −3) sont colinéaires, car u = −2v.
Lexique
- vecteur
- objet défini par une direction, un sens et une norme
- norme
- longueur d'un vecteur
- colinéaires
- se dit de vecteurs de même direction (u = kv)
- coplanaires
- se dit de vecteurs dont l'un est combinaison linéaire des autres
Les erreurs fréquentes à éviter
Piège — Inverser origine et extrémité. Les composantes de AB sont « arrivée − départ ». Les calculer dans l'autre sens donne le vecteur opposé BA et fausse la réponse (par exemple pour D dans un parallélogramme).
Piège — Tester la colinéarité sur deux composantes seulement. Dans l'espace, le même k doit convenir aux trois composantes. Calcule les trois rapports avant de conclure.
Attention AB et BA sont opposés : BA = −AB. Les composantes se calculent toujours « extrémité moins origine ». Pour tester la colinéarité dans l'espace, il faut que le même k convienne pour les trois composantes.
L'astuce du prof
Astuce. Pour vérifier un parallélogramme ABCD, compare les milieux des diagonales [AC] et [BD] : s'ils coïncident, ABCD est un parallélogramme.
Exercices corrigés
Cherche d'abord seul, puis ouvre la correction.
Exercice 1 — Longueur et milieu
Soient A(2 ; −1 ; 3) et B(5 ; 3 ; −1). Calcule les composantes de AB, la distance AB et le milieu de [AB].
Voir la correction
Les composantes sont (5 − 2 ; 3 − (−1) ; −1 − 3) = (3 ; 4 ; −4). La distance vaut √(9 + 16 + 16) = √41 ≈ 6,40. Le milieu a pour coordonnées ((2 + 5)/2 ; (−1 + 3)/2 ; (3 − 1)/2) = (72 ; 1 ; 1).
Exercice 2 — Alignement
Les points A(0 ; 1 ; 2), B(2 ; −1 ; 5) et C(6 ; −5 ; 11) sont-ils alignés ? Et A, B et D(4 ; −3 ; 7) ?
Voir la correction
AB = (2 ; −2 ; 3) et AC = (6 ; −6 ; 9) = 3·AB : le même k = 3 convient pour les trois composantes, donc A, B, C sont alignés. Pour D, AD = (4 ; −4 ; 5) : le rapport vaut 2 pour les deux premières composantes mais 53 pour la troisième. AD n'est pas colinéaire à AB : A, B, D ne sont pas alignés.