Au programme de ce chapitre
- I. Le triangle rectangle
- II. Le cercle trigonométrique
- III. Le triangle quelconque
- Savoir-faire
- Exercices types corrigés
- Teste-toi — vrai ou faux ?
- Pièges fréquents et astuces
- À retenir
La définition à retenir
Définition Dans un triangle rectangle, pour un angle aigu α :
- sin α = côté opposé / hypoténuse ;
- cos α = côté adjacent / hypoténuse ;
- tan α = côté opposé / côté adjacent.
Un exemple corrigé
Exemple Une échelle de 5 m est appuyée contre un mur et fait un angle de 70° avec le sol. Hauteur atteinte sur le mur : h = 5 × sin 70° ≈ 5 × 0,940 ≈ 4,70 m. Distance du pied de l'échelle au mur : d = 5 × cos 70° ≈ 5 × 0,342 ≈ 1,71 m.
Lexique
- hypoténuse
- côté opposé à l'angle droit, le plus long du triangle rectangle
- amplitude
- mesure d'un angle (en degrés ou en radians)
- cercle trigonométrique
- cercle de centre O et de rayon 1 dans un repère orthonormé
- formule de Carnot
- a² = b² + c² − 2bc cos Â, valable dans tout triangle
Les erreurs fréquentes à éviter
Piège — écrire sin α + cos α = 1. La relation fondamentale porte sur les carrés : sin² α + cos² α = 1. Pour α = 30°, sin α + cos α ≈ 0,5 + 0,866 = 1,366 et non 1.
Piège — deux angles pour un même sinus. Avec la règle des sinus, sin  = 12 donne  = 30° mais aussi  = 150°. Vérifie avec la somme des angles (180°) et avec la figure laquelle des deux est possible.
Attention Calculatrice en mode degrés (DEG) pour ce chapitre ! En radians, sin 30 donne environ −0,988 au lieu de 0,5.
L'astuce du prof
Astuce Angles associés à retenir : sin(180° − α) = sin α et cos(180° − α) = −cos α ; cos(−α) = cos α et sin(−α) = −sin α. Un petit croquis du cercle suffit pour les retrouver.
Exercices corrigés
Cherche d'abord seul, puis ouvre la correction.
Exercice 1 — Côtés d'un triangle rectangle
Dans un triangle ABC rectangle en B, l'hypoténuse AC mesure 10 cm et l'angle  mesure 30°. Calcule BC et AB (valeurs exactes puis arrondies au centième).
Voir la correction
BC est opposé à Â : BC = 10 × sin 30° = 10 × 12 = 5 cm. AB est adjacent : AB = 10 × cos 30° = 10 × √32 = 5√3 ≈ 8,66 cm. Contrôle : 5² + 8,66² ≈ 25 + 75 = 100 = 10².
Exercice 2 — Une valeur qui donne les autres
L'angle α est aigu et sin α = 5/13. Calcule cos α et tan α.
Voir la correction
Comme cos² α = 1 − 25169 = 144169 et que cos α > 0, on obtient cos α = 12/13. Alors tan α = (513) / (1213) = 5/12.