Au programme de ce chapitre
- I. Covariance et coefficient de corrélation
- II. Calculer r
- III. Interpréter avec prudence
- Savoir-faire
- Exercices types corrigés
- Teste-toi — vrai ou faux ?
- Pièges fréquents et astuces
- À retenir
La définition à retenir
Définition Pour une série de n couples (xi ; yi) :
- covariance : cov(x, y) = (1/n) Σ (xi − x̄)(yi − ȳ) ;
- coefficient de corrélation linéaire : r = cov(x, y) / (σx σy), où σx et σy sont les écarts-types.
Un exemple corrigé
Exemple Reprenons les temps de révision (1 à 6 h) et les notes (7, 9, 10, 12, 13, 15), avec x̄ = 3,5 et ȳ = 11.
Écarts en x : −2,5 ; −1,5 ; −0,5 ; 0,5 ; 1,5 ; 2,5. Écarts en y : −4 ; −2 ; −1 ; 1 ; 2 ; 4.
Somme des produits : 10 + 3 + 0,5 + 0,5 + 3 + 10 = 27, donc cov = 276 = 4,5.
σx² = 17,5 / 6 ≈ 2,917 et σy² = 426 = 7, donc σx ≈ 1,708 et σy ≈ 2,646.
r ≈ 4,5 / (1,708 × 2,646) ≈ 0,996 : liaison linéaire positive très forte.
Écarts en x : −2,5 ; −1,5 ; −0,5 ; 0,5 ; 1,5 ; 2,5. Écarts en y : −4 ; −2 ; −1 ; 1 ; 2 ; 4.
Somme des produits : 10 + 3 + 0,5 + 0,5 + 3 + 10 = 27, donc cov = 276 = 4,5.
σx² = 17,5 / 6 ≈ 2,917 et σy² = 426 = 7, donc σx ≈ 1,708 et σy ≈ 2,646.
r ≈ 4,5 / (1,708 × 2,646) ≈ 0,996 : liaison linéaire positive très forte.
Lexique
- covariance
- moyenne des produits des écarts à la moyenne
- coefficient de corrélation
- nombre r entre −1 et 1 qui mesure la liaison linéaire
- écart-type
- mesure de dispersion d'une variable autour de sa moyenne
- causalité
- lien où une variable provoque l'autre
Les erreurs fréquentes à éviter
Piège — prendre r pour la pente. r n'est pas le coefficient angulaire de la droite. Deux nuages très différents (l'un presque plat, l'autre très raide) peuvent avoir le même r = 0,9 : r mesure l'alignement, pas l'inclinaison.
Piège — écart-type de la calculatrice. Les calculatrices affichent deux écarts-types : σx (division par n) et sx (division par n − 1). Pour la formule de r vue en classe, utilise σx, sinon ton résultat sera légèrement faux.
Attention Corrélation n'est pas causalité. Sur la côte belge, les ventes de glaces et le nombre de coups de soleil sont fortement corrélés en été : les glaces ne provoquent pas les coups de soleil ! Une troisième variable (l'ensoleillement) explique les deux.
L'astuce du prof
Astuce Sur la plupart des calculatrices, r n'apparait qu'après avoir activé l'option de diagnostic ou choisi la régression linéaire. Encode les données en deux listes de même longueur.
Exercices corrigés
Cherche d'abord seul, puis ouvre la correction.
Exercice 1 — Lire des coefficients
Interprète r = −0,92, r = 0,15 et r = 1.
Voir la correction
r = −0,92 : liaison linéaire négative et forte. r = 0,15 : liaison linéaire positive mais très faible, presque rien. r = 1 : tous les points sont exactement alignés sur une droite croissante.
Exercice 2 — Un calcul complet
Calcule r pour x = 1, 2, 3, 4, 5 et y = 2, 4, 5, 4, 5.
Voir la correction
Les moyennes valent x̄ = 3 et ȳ = 4. Les produits des écarts sont 4, 0, 0, 0 et 2, de somme 6, donc cov = 65 = 1,2. De plus σx² = 105 = 2 et σy² = 65 = 1,2. On trouve r = 1,2 / √(2 × 1,2) = 1,2 / √2,4 ≈ 0,775 : liaison positive assez forte.