Au programme de ce chapitre
- I. Dérivée et variations
- II. Étude complète d'une fonction
- III. S'entraîner
- Savoir-faire
- Exercices types corrigés
- Teste-toi — vrai ou faux ?
- Pièges fréquents et astuces
- À retenir
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Un exemple corrigé
Exemple f(x) = x³ − 3x² − 9x + 5. f′(x) = 3x² − 6x − 9 = 3(x² − 2x − 3) = 3(x + 1)(x − 3).
f(−1) = −1 − 3 + 9 + 5 = 10 et f(3) = 27 − 27 − 27 + 5 = −22.
| x | −∞ | −1 | 3 | +∞ | |||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| f′(x) | + | 0 | − | 0 | + | ||
| f(x) | ↗ | 10 (max) | ↘ | −22 (min) | ↗ |
Lexique
- extremum
- maximum ou minimum d'une fonction
- tableau de variation
- tableau qui résume le signe de f′ et le sens de variation de f
- point d'inflexion
- point où la courbe change de concavité
- extremum local
- plus grande ou plus petite valeur au voisinage d'un point
Les erreurs fréquentes à éviter
Piège — donner x au lieu de la valeur de l'extremum. Le minimum de x² − 4x + 1 est −3, atteint en x = 2. Dire « le minimum est 2 » confond la position et la valeur. Écris toujours f(a).
Piège — croire que le signe alterne toujours. Pour h′(x) = 3(x − 1)², la racine est double : f′ reste positive des deux côtés et le signe n'alterne pas. Teste toujours un nombre dans chaque intervalle plutôt que d'alterner « à l'aveugle ».
Attention f′(a) = 0 ne suffit pas pour avoir un extremum. Pour f(x) = x³, f′(0) = 0 mais f′(x) = 3x² reste positive des deux côtés : f est croissante sur ℝ, sans maximum ni minimum en 0 (tangente horizontale en un point d'inflexion).
L'astuce du prof
Astuce Pour une fonction rationnelle, le dénominateur de f′ est un carré, donc positif : le signe de f′ est celui de son numérateur. N'oublie pas de faire figurer les valeurs interdites (double barre) dans le tableau.
Exercices corrigés
Cherche d'abord seul, puis ouvre la correction.
Exercice 1 — Une parabole
Étudie les variations de f(x) = x² − 4x + 1 et donne son extremum.
Voir la correction
f′(x) = 2x − 4 s'annule en x = 2, est négative avant et positive après. La fonction décroit sur ]−∞ ; 2] puis croit sur [2 ; +∞[. Elle admet un minimum f(2) = 4 − 8 + 1 = −3.
Exercice 2 — Un polynôme du 3e degré
Étudie g(x) = x³ − 12x : tableau de signes de g′ et extremums.
Voir la correction
On a g′(x) = 3x² − 12 = 3(x − 2)(x + 2). Le signe est + sur ]−∞ ; −2[, − sur ]−2 ; 2[ et + sur ]2 ; +∞[. Il y a donc un maximum g(−2) = −8 + 24 = 16 et un minimum g(2) = 8 − 24 = −16.