Au programme de ce chapitre
- I. Deux méthodes d'ajustement
- II. Prévoir avec un modèle
- III. S'entraîner
- Savoir-faire
- Exercices types corrigés
- Teste-toi — vrai ou faux ?
- Pièges fréquents et astuces
- À retenir
La définition à retenir
Définition Une droite d'ajustement est une droite qui passe « au plus près » des points du nuage.
- Méthode de Mayer : on partage le nuage en deux groupes (selon x croissant), on calcule le point moyen de chaque groupe et on trace la droite qui les relie.
- Méthode des moindres carrés : la droite de régression de y en x, y = ax + b, rend minimale la somme des carrés des écarts verticaux entre les points et la droite.
Un exemple corrigé
Exemple Série des temps de révision : cov = 4,5 et σx² = 3512 ≈ 2,917. Alors a = 4,5 / (3512) = 5435 ≈ 1,54 et b = 11 − (5435) × 3,5 = 11 − 5,4 = 5,6. Droite : y = 1,54x + 5,6.
Avec Mayer : G1(2 ; 8,67) pour les trois premiers élèves, G2(5 ; 13,33) pour les trois derniers ; pente (13,33 − 8,67) / 3 ≈ 1,56 : résultat très proche.
Avec Mayer : G1(2 ; 8,67) pour les trois premiers élèves, G2(5 ; 13,33) pour les trois derniers ; pente (13,33 − 8,67) / 3 ≈ 1,56 : résultat très proche.
Lexique
- droite de régression
- droite des moindres carrés y = ax + b
- interpolation
- estimation à l'intérieur du domaine des données
- extrapolation
- prévision en dehors du domaine des données
- méthode de Mayer
- droite passant par les points moyens de deux sous-groupes
Les erreurs fréquentes à éviter
Piège — mélanger pente et ordonnée à l'origine. Dans y = ax + b, a est la pente (calculée en premier) et b l'ordonnée à l'origine (calculée avec G). Si tu inverses les deux, ta droite sera fausse.
Piège — des groupes de Mayer mal formés. Il faut d'abord trier les points par x croissant. Si tu partages le tableau tel quel, sans trier, les points moyens ne sont pas ceux de la méthode.
Attention Une extrapolation lointaine est risquée. Avec y = 1,54x + 5,6, 8 h de révision donneraient environ 17,9/20 ; 12 h donneraient 24,1/20, ce qui est absurde. Le modèle n'est valable que dans le domaine observé.
L'astuce du prof
Astuce. Teste ton équation avec G : si ses coordonnées ne vérifient pas y = ax + b, tu as une erreur. Et la pente a doit avoir le même signe que r.
Exercices corrigés
Cherche d'abord seul, puis ouvre la correction.
Exercice 1 — Une droite par G
Une droite d'ajustement a pour pente a = 2 et passe par le point moyen G(3 ; 7). Donne son équation.
Voir la correction
Il suffit de trouver b avec le point G : 7 = 2 × 3 + b donc b = 1. La droite a pour équation y = 2x + 1.
Exercice 2 — Droite de Mayer
Détermine la droite de Mayer de la série (1 ; 2), (2 ; 3), (3 ; 5), (4 ; 6).
Voir la correction
Les deux groupes sont {(1 ; 2), (2 ; 3)} et {(3 ; 5), (4 ; 6)}. Leurs points moyens sont G1(1,5 ; 2,5) et G2(3,5 ; 5,5). La pente vaut (5,5 − 2,5) / (3,5 − 1,5) = 32 = 1,5. Alors y − 2,5 = 1,5(x − 1,5), soit y = 1,5x + 0,25.