Au programme de ce chapitre
- I. Définition
- II. Fonctions définies par morceaux
- III. Théorème des valeurs intermédiaires
- Savoir-faire
- Exercices types corrigés
- Teste-toi — vrai ou faux ?
- Pièges fréquents et astuces
- À retenir
La définition à retenir
Définition Une fonction f est continue en a si :
- f(a) existe ;
- limx→a f(x) existe ;
- limx→a f(x) = f(a).
Un exemple corrigé
Exemple Un parking de Liège facture 2 € la première heure entamée, puis 1,50 € par heure entamée supplémentaire. Le prix en fonction de la durée fait des « sauts » à chaque heure : la fonction n'est pas continue en x = 1, 2, 3…
Lexique
- continuité
- absence de saut ou de trou dans la courbe
- dichotomie
- méthode qui coupe l'intervalle en deux à chaque étape pour approcher une racine
- prolongement par continuité
- définition de f(a) égale à la limite pour boucher un trou
Les erreurs fréquentes à éviter
Piège — ne calculer qu'un côté. Au point de raccord, il faut calculer les deux limites. Une fonction peut coller à gauche et sauter à droite. Compare toujours limite à gauche, limite à droite et f(a).
Piège — oublier la continuité dans le théorème. Pour f(x) = 1/x, on a f(−1) = −1 et f(1) = 1, de signes contraires, et pourtant 1/x ne s'annule jamais : f n'est pas continue sur [−1 ; 1] (elle n'est pas définie en 0).
Attention Une fonction peut avoir une limite en a sans être continue en a : f(x) = (x² − 4) / (x − 2) a pour limite 4 en 2, mais f(2) n'existe pas. On peut la « prolonger par continuité » en posant f(2) = 4.
L'astuce du prof
Astuce. Pour un paramètre de raccord, écris trois quantités sur une ligne : limite à gauche = limite à droite = f(a). Dans la plupart des exercices, deux d'entre elles sont identiques et il ne reste qu'une équation.
Exercices corrigés
Cherche d'abord seul, puis ouvre la correction.
Exercice 1 — Où est-ce continu ?
Sur quel ensemble les fonctions suivantes sont-elles continues : a) f(x) = 3x² − 5 ; b) g(x) = (x + 1) / (x − 4) ; c) h(x) = √(x − 2) ?
Voir la correction
a) C'est un polynôme : continue sur ℝ. b) Fonction rationnelle, définie sauf en x = 4 : continue sur ℝ \ {4}. c) Il faut x − 2 ≥ 0 : continue sur [2 ; +∞[.
Exercice 2 — Un saut
Soit f(x) = 2x + 1 si x < 1 et f(x) = 5 − x si x ≥ 1. Étudie la continuité en x = 1.
Voir la correction
La limite à gauche vaut 2 × 1 + 1 = 3. La limite à droite vaut 5 − 1 = 4, et f(1) = 4. Comme 3 ≠ 4, la fonction n'est pas continue en 1 : la courbe fait un saut de 1 unité.