Au programme de ce chapitre
- I. La démarche
- II. Deux exemples classiques
- III. Pièges et entraînement
- Savoir-faire
- Exercices types corrigés
- Teste-toi — vrai ou faux ?
- Pièges fréquents et astuces
- À retenir
La définition à retenir
Définition Un problème d'optimisation consiste à trouver la valeur d'une variable qui rend une grandeur (aire, volume, cout, bénéfice, durée…) maximale ou minimale, en respectant des contraintes.
Un exemple corrigé
Exemple Un agriculteur dispose de 100 m de grillage pour clôturer un enclos rectangulaire le long de la Meuse ; le côté qui longe la rivière n'a pas besoin de clôture. Soit x la largeur (perpendiculaire à la rivière) : la longueur vaut 100 − 2x et l'aire A(x) = x(100 − 2x) = 100x − 2x², pour 0 < x < 50.
A′(x) = 100 − 4x s'annule en x = 25 ; A′ passe de + à − : maximum. L'enclos mesure 25 m sur 50 m, pour une aire de 1 250 m².
A′(x) = 100 − 4x s'annule en x = 25 ; A′ passe de + à − : maximum. L'enclos mesure 25 m sur 50 m, pour une aire de 1 250 m².
Lexique
- optimiser
- chercher la valeur qui rend une grandeur maximale ou minimale
- contrainte
- condition imposée par l'énoncé (périmètre, volume…)
- domaine
- ensemble des valeurs possibles de la variable dans le problème
Les erreurs fréquentes à éviter
Piège — une solution hors du domaine. Si A′(x) = 0 donne x = 4 ou x = −4, seule x = 4 est possible pour une longueur. Écris le domaine dès le départ pour éviter de garder une valeur absurde.
Piège — répondre à côté de la question. Si on demande l'aire maximale et que tu donnes seulement la valeur de x, la réponse est incomplète. Relis la question avant de conclure, et écris l'unité (m, cm², €).
Attention Garde toujours une seule variable dans la fonction à optimiser. Si tu as deux inconnues (longueur et largeur), utilise la contrainte (périmètre, volume imposé…) pour exprimer l'une en fonction de l'autre. Et vérifie que la solution trouvée appartient au domaine.
L'astuce du prof
Astuce. Teste ton résultat avec des valeurs voisines : pour le billet, R(9) = 29 × 310 = 8 990 et R(11) = 31 × 290 = 8 990 sont plus petits que R(10) = 9 000. Ton maximum est cohérent.
Exercices corrigés
Cherche d'abord seul, puis ouvre la correction.
Exercice 1 — Deux nombres
La somme de deux nombres vaut 20. Pour quelles valeurs leur produit est-il maximal ?
Voir la correction
Si le premier nombre est x, le second est 20 − x et P(x) = x(20 − x) = 20x − x². P′(x) = 20 − 2x s'annule en x = 10 et passe de + à − : maximum. Les deux nombres valent 10 et le produit maximal est 100.
Exercice 2 — Un rectangle de périmètre fixé
Un rectangle a un périmètre de 36 m. Quelles dimensions donnent l'aire maximale ?
Voir la correction
Le demi-périmètre vaut 18 : si la largeur est x, la longueur est 18 − x et A(x) = x(18 − x), pour 0 < x < 18. A′(x) = 18 − 2x s'annule en x = 9, avec un changement de + à −. Le rectangle est un carré de 9 m de côté, d'aire 81 m².