Au programme de ce chapitre
- I. Les différents types de limites
- II. Calculer une limite
- III. Pièges et entraînement
- Savoir-faire
- Exercices types corrigés
- Teste-toi — vrai ou faux ?
- Pièges fréquents et astuces
- À retenir
La définition à retenir
Définition On écrit :
- limx→a f(x) = L si f(x) devient aussi proche de L qu'on le veut quand x est suffisamment proche de a ;
- limx→a f(x) = +∞ si f(x) devient aussi grand qu'on le veut quand x s'approche de a ;
- limx→+∞ f(x) = L si f(x) se rapproche de L quand x devient très grand.
Un exemple corrigé
Exemple f(x) = 1 / (x − 3). Si x → 3+, x − 3 est un petit nombre positif, donc f(x) → +∞. Si x → 3−, x − 3 est un petit nombre négatif, donc f(x) → −∞. Les limites à gauche et à droite sont différentes : f n'a pas de limite en 3, mais x = 3 est une AV.
Lexique
- limite
- valeur dont f(x) se rapproche quand x tend vers a ou vers l'infini
- forme indéterminée
- calcul dont le résultat ne peut pas être prévu sans transformer l'expression
- limite à droite
- limite quand x s'approche de a par des valeurs plus grandes que a
Les erreurs fréquentes à éviter
Piège — le signe du dénominateur. Pour lim x→2+ de 1/(2 − x), le dénominateur est un petit nombre négatif (2 − x < 0 quand x > 2) : la limite est −∞. Écrire +∞ « parce que 1/0 est positif » est une erreur fréquente.
Piège — garder un seul terme. En ±∞, on ne garde que le terme dominant de chaque polynôme, mais pour les deux. Pour (3x² + 1) / (x² + 5x), la limite est 3x² / x² = 3, et non 3x² / 5x (qui mélangerait les termes).
Attention « 0 / 0 » ne vaut ni 0 ni 1 : c'est une forme indéterminée. De même, ∞ − ∞ n'est pas 0 : limx→+∞ (x² − x) = +∞ alors que limx→+∞ (x − x²) = −∞.
L'astuce du prof
Astuce. Pour x → −∞, fais attention aux puissances impaires : (−1 000)³ est négatif. Teste mentalement avec un grand nombre négatif pour vérifier le signe de ta limite.
Exercices corrigés
Cherche d'abord seul, puis ouvre la correction.
Exercice 1 — Une simple substitution
Calcule a) lim x→2 (3x² − x) ; b) lim x→1 (x + 4) / (x + 1).
Voir la correction
Ici le remplacement direct suffit. a) 3 × 4 − 2 = 10. b) (1 + 4) / (1 + 1) = 52 : le dénominateur ne s'annule pas.
Exercice 2 — À gauche et à droite
Étudie a) lim x→−2 3 / (x + 2) à gauche et à droite ; b) lim x→1 1 / (x − 1)².
Voir la correction
a) Si x → −2 par la droite, x + 2 est un petit positif, donc 3/(x + 2) → +∞ ; par la gauche, x + 2 est un petit négatif, donc −∞. Les deux limites diffèrent : pas de limite en −2. b) Le carré est toujours positif, donc on obtient +∞ des deux côtés : lim = +∞.