Au programme de ce chapitre
- I. Résoudre les équations de base
- II. Modéliser un phénomène périodique
- III. S'entraîner
- Savoir-faire
- Exercices types corrigés
- Teste-toi — vrai ou faux ?
- Pièges fréquents et astuces
- À retenir
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Un exemple corrigé
Exemple sin x = 1/2. Une solution est π/6, donc x = π/6 + 2kπ ou x = π − π/6 + 2kπ = 5π/6 + 2kπ. Dans [0 ; 2π[ : x = π/6 ou x = 5π/6.
Extrait du cours
À quels moments de l'année la température moyenne atteint-elle 15 °C ? À quelle heure la marée permet-elle à un bateau de sortir du port de Zeebruges ? Ces questions mènent à des équations trigonométriques, qui ont en général plusieurs solutions.
Lexique
- équation trigonométrique
- équation où l'inconnue apparait dans un sinus, un cosinus ou une tangente
- solution générale
- ensemble de toutes les solutions, écrites avec k entier
- phénomène périodique
- phénomène qui se répète à intervalles réguliers
Les erreurs fréquentes à éviter
Piège — la mauvaise deuxième famille. Pour le sinus, la deuxième famille est π − α. Pour le cosinus, c'est −α. Si tu écris −α pour un sinus, tu obtiens des valeurs qui ne vérifient pas l'équation : remplace pour vérifier.
Piège — ne pas diviser le terme 2kπ. Après 3x = π/3 + 2kπ, on obtient x = π/9 + 2kπ/3, pas x = π/9 + 2kπ. Si tu oublies de diviser le terme en k, tu perds la plupart des solutions.
Attention N'oublie pas la deuxième famille de solutions (π − α pour le sinus, −α pour le cosinus) : c'est l'erreur la plus fréquente. Un petit dessin du cercle trigonométrique montre qu'il y a en général deux points par tour.
L'astuce du prof
Astuce Pour construire un modèle à partir de données : d = (max + min) / 2, |a| = (max − min) / 2, b = 2π / période, puis c est la valeur de t où la courbe passe par la moyenne en montant.
Exercices corrigés
Cherche d'abord seul, puis ouvre la correction.
Exercice 1 — Un cosinus
Résous cos x = √22 dans [0 ; 2π[.
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On sait que cos(π/4) = √2/2, donc x = π/4 + 2kπ ou x = −π/4 + 2kπ. Dans [0 ; 2π[, il reste x = π/4 et x = −π/4 + 2π = 7π/4.
Exercice 2 — Un sinus négatif
Résous sin x = −12 dans [0 ; 2π[.
Voir la correction
Une solution est −π/6 (car sin(−π/6) = −12). Les familles sont x = −π/6 + 2kπ et x = π − (−π/6) + 2kπ = 7π/6 + 2kπ. Dans [0 ; 2π[, les solutions sont 7π/6 et 11π/6.