Au programme de ce chapitre
- I. Trois sortes d'asymptotes
- II. Cas des fonctions rationnelles
- III. S'entraîner
- Savoir-faire
- Exercices types corrigés
- Teste-toi — vrai ou faux ?
- Pièges fréquents et astuces
- À retenir
La définition à retenir
Définition Soit f une fonction et Cf sa courbe.
- La droite x = a est une asymptote verticale (AV) si f(x) tend vers +∞ ou −∞ quand x tend vers a (à gauche ou à droite).
- La droite y = b est une asymptote horizontale (AH) si f(x) tend vers b quand x tend vers +∞ ou vers −∞.
- La droite y = mx + p (m ≠ 0) est une asymptote oblique (AO) si f(x) − (mx + p) tend vers 0 quand x tend vers +∞ ou vers −∞.
Un exemple corrigé
Exemple f(x) = (2x + 1) / (x − 3). Le dénominateur s'annule en x = 3, pas le numérateur (il vaut 7) : AV x = 3. Pour x très grand, f(x) se comporte comme 2x / x = 2 : AH y = 2. Par exemple f(1 003) = 2 0071 000 = 2,007.
Lexique
- asymptote
- droite dont la courbe se rapproche indéfiniment
- fonction rationnelle
- quotient de deux polynômes
- division euclidienne
- écriture N = D × quotient + reste, avec degré du reste < degré de D
Les erreurs fréquentes à éviter
Piège — oublier de diviser les coefficients. Pour (4x² − 1) / (2x² + 3), l'AH est y = 42 = 2, et non y = 4. Il faut le quotient des deux coefficients dominants.
Piège — garder le reste dans l'AO. Pour (x² + 1) / (x − 1) = x + 1 + 2/(x − 1), l'asymptote est y = x + 1. Écrire y = x + 1 + 2/(x − 1) n'est pas une droite : le reste est justement ce qui tend vers 0.
Attention Une racine du dénominateur ne donne pas toujours une AV. Pour f(x) = (x² − 4) / (x − 2), on simplifie : f(x) = x + 2 si x ≠ 2. La courbe est une droite « trouée » en (2 ; 4) : il n'y a pas d'asymptote verticale.
L'astuce du prof
Astuce Une courbe peut couper son asymptote horizontale ou oblique (à distance finie), mais jamais une asymptote verticale : en x = a, f n'est pas définie.
Exercices corrigés
Cherche d'abord seul, puis ouvre la correction.
Exercice 1 — Une fonction simple
Détermine les asymptotes de f(x) = 5 / (x − 4).
Voir la correction
Le dénominateur s'annule en x = 4 alors que le numérateur vaut 5 : AV x = 4. Comme le numérateur est de degré 0, plus petit que celui du dénominateur, y = 0 est AH.
Exercice 2 — Degrés égaux
Détermine les asymptotes de g(x) = (3x − 6) / (2x + 4).
Voir la correction
2x + 4 = 0 pour x = −2, et le numérateur vaut alors −12 ≠ 0 : AV x = −2. Les degrés sont égaux, donc AH y = 32 (quotient 32 des coefficients de x).