Au programme de ce chapitre
- I. Dérivées des fonctions de référence
- II. Appliquer les règles
- III. Pièges et entraînement
- Savoir-faire
- Exercices types corrigés
- Teste-toi — vrai ou faux ?
- Pièges fréquents et astuces
- À retenir
Un exemple corrigé
Exemple
- f(x) = 4x³ − 5x² + 7x − 2 : f′(x) = 12x² − 10x + 7.
- f(x) = (2x + 1)(x² − 3) : f′(x) = 2(x² − 3) + (2x + 1) × 2x = 6x² + 2x − 6.
- f(x) = (x + 1) / (x − 2) : f′(x) = [1 × (x − 2) − (x + 1) × 1] / (x − 2)² = −3 / (x − 2)².
- f(x) = (3x − 1)4 : f′(x) = 4(3x − 1)³ × 3 = 12(3x − 1)³.
- f(x) = √(x² + 1) : f′(x) = 2x / (2√(x² + 1)) = x / √(x² + 1).
Lexique
- fonction dérivée
- fonction f′ qui associe à x le nombre dérivé f′(x)
- fonction composée
- fonction obtenue en appliquant une fonction au résultat d'une autre, comme (3x − 1)4
- dérivable
- qui possède un nombre dérivé en chaque point considéré
Les erreurs fréquentes à éviter
Piège — oublier le facteur u′. Pour (2x + 5)³, la dérivée est 3(2x + 5)² × 2 = 6(2x + 5)². Écrire seulement 3(2x + 5)² oublie de multiplier par la dérivée de l'intérieur.
Piège — dériver un quotient « terme à terme ». (5/x)′ n'est pas 51 = 5. On écrit 5/x = 5x^(−1), qui se dérive en −5x^(−2) = −5/x². Une constante au numérateur reste là, et c'est le x du dénominateur qu'on dérive.
Attention La dérivée d'un produit n'est pas le produit des dérivées : pour f(x) = x² × x³ = x5, f′(x) = 5x4, et non 2x × 3x² = 6x³. Dans un quotient, l'ordre du numérateur compte : u′v − uv′, pas l'inverse.
L'astuce du prof
Astuce Avant de dériver, simplifie si possible : f(x) = (x² + 3x) / x = x + 3 pour x ≠ 0, donc f′(x) = 1. Et 1/x³ = x−3 se dérive en −3x−4 = −3/x4.
Exercices corrigés
Cherche d'abord seul, puis ouvre la correction.
Exercice 1 — Un polynôme
Dérive f(x) = 5x⁴ − 2x³ + x − 7.
Voir la correction
On dérive chaque terme : (5x⁴)′ = 20x³, (−2x³)′ = −6x², (x)′ = 1 et la constante −7 disparait. Donc f′(x) = 20x³ − 6x² + 1.
Exercice 2 — Racine et inverse
Dérive g(x) = √x + 4/x.
Voir la correction
Écrivons 4/x = 4x^(−1). Sa dérivée est −4x^(−2) = −4/x². Celle de √x est 1/(2√x). Donc g′(x) = 1/(2√x) − 4/x² (pour x > 0).