Au programme de ce chapitre
- I. Du taux de variation au nombre dérivé
- II. Interprétation graphique
- III. Pièges et entraînement
- Savoir-faire
- Exercices types corrigés
- Teste-toi — vrai ou faux ?
- Pièges fréquents et astuces
- À retenir
La définition à retenir
Définition Le taux de variation (ou taux d'accroissement) de f entre a et a + h est [f(a + h) − f(a)] / h. C'est la pente de la sécante qui passe par les points d'abscisses a et a + h.
🔒 Infographie récapitulative du chapitreIncluse dans le cours complet, avec la méthode et les exercices corrigés.La voir gratuitement pendant 7 jours
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Un exemple corrigé
Exemple Une bille lâchée sans vitesse parcourt d(t) = 5t² mètres en t secondes. Entre t = 2 et t = 2 + h : [5(2 + h)² − 20] / h = (20h + 5h²) / h = 20 + 5h. Quand h → 0, on obtient d′(2) = 20 m/s : c'est la vitesse instantanée à t = 2 s.
Lexique
- taux de variation
- quotient [f(a + h) − f(a)] / h, pente de la sécante
- nombre dérivé
- limite du taux de variation quand h tend vers 0
- tangente
- droite qui « épouse » la courbe au voisinage d'un point
- coefficient angulaire
- pente m d'une droite y = mx + p
Les erreurs fréquentes à éviter
Piège — (a + h)² n'est pas a² + h². Il faut développer : (a + h)² = a² + 2ah + h². Oublier le double produit 2ah fait disparaitre tout le résultat. Écris toujours la ligne de développement.
Piège — oublier f(a) dans la tangente. La tangente est y = f′(a)(x − a) + f(a). Écrire y = f′(a)(x − a) donne une droite qui passe bien par le bon x mais pas par le bon point de la courbe.
Attention Dans le taux de variation, développe tout f(a + h) avant de simplifier par h. On ne simplifie par h que lorsque chaque terme du numérateur contient h ; sinon le calcul est faux.
L'astuce du prof
Astuce. Avant de simplifier par h, vérifie que le terme sans h du numérateur a disparu (f(a) − f(a) = 0). S'il en reste un, tu as fait une erreur de calcul plus haut.
Exercices corrigés
Cherche d'abord seul, puis ouvre la correction.
Exercice 1 — Un premier calcul
Calcule f′(3) pour f(x) = x² avec la définition.
Voir la correction
Le taux vaut [(3 + h)² − 9] / h = (9 + 6h + h² − 9) / h = (6h + h²) / h = 6 + h. Quand h → 0, il tend vers 6, donc f′(3) = 6.
Exercice 2 — Avec un terme en x
Calcule f′(2) pour f(x) = x² + 4x avec la définition.
Voir la correction
On a f(2) = 4 + 8 = 12 et f(2 + h) = 4 + 4h + h² + 8 + 4h = 12 + 8h + h². Le taux est (8h + h²) / h = 8 + h, de limite 8. D'où f′(2) = 8.