Au programme de ce chapitre
- I. Le radian
- II. Angles orientés
- III. Pièges et entraînement
- Savoir-faire
- Exercices types corrigés
- Teste-toi — vrai ou faux ?
- Pièges fréquents et astuces
- À retenir
La définition à retenir
Définition Un angle au centre mesure 1 radian (rad) s'il intercepte sur le cercle un arc de longueur égale au rayon. Un tour complet mesure 2π rad, donc :
180° = π rad ; 1 rad ≈ 57,3°.
180° = π rad ; 1 rad ≈ 57,3°.
Un exemple corrigé
Exemple Une roue de vélo de 35 cm de rayon tourne de 3 rad : un point du pneu parcourt ℓ = 35 × 3 = 105 cm, et le vélo avance donc de 1,05 m. Pour un tour complet (2π rad), il avance de 2π × 35 ≈ 220 cm.
Lexique
- radian
- angle qui intercepte un arc de longueur égale au rayon
- sens anti-horlogique
- sens contraire des aiguilles d'une montre, sens positif
- mesure principale
- mesure d'un angle orienté comprise dans ]−π ; π]
- quadrant
- quart du cercle trigonométrique délimité par les axes
Les erreurs fréquentes à éviter
Piège — la formule ℓ = r θ avec des degrés. La formule ℓ = r θ n'est valable que si θ est en radians. Avec θ = 90° et r = 5, ℓ n'est pas 450 : convertis d'abord en π/2, puis ℓ = 5π/2 ≈ 7,85.
Piège — oublier de passer au même dénominateur. Pour réduire 19π/3, écris 2π = 6π/3 avant de retirer des tours. Retirer « 2π » directement sans convertir en tiers donne un résultat faux.
Attention Calculatrice en mode RAD dès que les angles sont en radians ! Et π n'est pas une unité : π rad ≈ 3,14 rad, ce n'est pas 180 « tout court » mais 180°.
L'astuce du prof
Astuce Repère mental : π/6, π/4, π/3 sont « petits » (premier quadrant), π/2 est le quart de tour, π le demi-tour. Pour 5π/6, pense « π moins π/6 » : un angle proche du demi-tour.
Exercices corrigés
Cherche d'abord seul, puis ouvre la correction.
Exercice 1 — Conversions
Convertis 210° en radians et 5π/12 rad en degrés.
Voir la correction
210° = 210 × π/180 = 7π/6. Dans l'autre sens, 5π/12 = 5 × 180° / 12 = 75°.
Exercice 2 — Arc et secteur
Un angle au centre de π/4 rad intercepte un arc sur un cercle de rayon 8 cm. Calcule la longueur de l'arc et l'aire du secteur.
Voir la correction
La longueur est ℓ = 8 × π/4 = 2π ≈ 6,28 cm. L'aire vaut A = 8² × (π/4) / 2 = 64π/8 = 8π ≈ 25,13 cm².