Au programme de ce chapitre
- I. Définition et terme général
- II. Sens de variation
- III. Pièges et entraînement
- Savoir-faire
- Exercices types corrigés
- Teste-toi — vrai ou faux ?
- Pièges fréquents et astuces
- À retenir
La définition à retenir
Définition Une suite est géométrique de raison q (q ≠ 0) si, pour tout n, un+1 = q × un. Si les termes sont non nuls, le quotient un+1 / un est constant et vaut q.
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Un exemple corrigé
Exemple Tu places 2 000 € sur un compte à 2,5 % d'intérêts composés par an. Le capital après n années est Cn = 2 000 × 1,025n (ici on part de C0 = 2 000). Après 10 ans : C10 = 2 000 × 1,02510 ≈ 2 560,17 €.
Lexique
- suite géométrique
- suite où l'on multiplie toujours par le même nombre
- intérêts composés
- intérêts ajoutés au capital et qui rapportent à leur tour
- coefficient multiplicateur
- nombre 1 + t/100 associé à une évolution de t %
Les erreurs fréquentes à éviter
Piège — le coefficient d'une baisse. Une baisse de 15 % se traduit par 1 − 0,15 = 0,85, jamais par 0,15 ni par 1,15. Avec 0,15, tu calcules le montant de la baisse, pas la nouvelle valeur.
Piège — décalage d'indice. Si le premier terme est u_1, la formule est u_1 × q^(n−1). Si on part de C_0, elle devient C_0 × q^n. Regarde toujours par quel indice la suite commence.
Attention Des pourcentages successifs ne s'additionnent pas. Une hausse de 20 % suivie d'une baisse de 20 % donne un coefficient 1,20 × 0,80 = 0,96 : au total, une baisse de 4 %, pas un retour au prix de départ.
L'astuce du prof
Astuce Pour savoir quand un capital aura doublé, calcule les termes à la calculatrice (mode tableau ou suite) jusqu'à dépasser le double. À 2,5 %, 1,02528 ≈ 1,996 et 1,02529 ≈ 2,046 : il faut 29 ans.
Exercices corrigés
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Exercice 1 — Raison et huitième terme
Montre que 3, 6, 12, 24, … est géométrique et calcule u_8.
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Les quotients 6/3, 126 et 2412 valent tous 2 : q = 2. Puis u_8 = 3 × 2^7 = 3 × 128 = 384.
Exercice 2 — Raison fractionnaire
Pour la suite 81, 27, 9, …, donne la raison puis u_6.
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Le quotient 2781 vaut 1/3, et 927 aussi. Ainsi q = 1/3. Alors u_6 = 81 × (13)^5 = 81243 = 1/3.