Au programme de ce chapitre
- I. Somme des n premiers termes
- II. Limite d'une suite
- III. Pièges et entraînement
- Savoir-faire
- Exercices types corrigés
- Teste-toi — vrai ou faux ?
- Pièges fréquents et astuces
- À retenir
La définition à retenir
Définition On dit qu'une suite converge vers un réel L si ses termes deviennent aussi proches de L qu'on le veut, à partir d'un certain rang : on note lim un = L (n → +∞). Sinon, elle diverge (vers +∞, vers −∞, ou sans limite).
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Un exemple corrigé
Exemple Le jeune Gauss aurait calculé 1 + 2 + … + 100 en associant les termes deux à deux : (1 + 100) + (2 + 99) + … = 50 × 101 = 5 050. C'est la formule : 100 × (1 + 100) / 2 = 5 050.
Somme géométrique : 1 + 2 + 4 + … + 29 (10 termes, q = 2) = 1 × (1 − 210) / (1 − 2) = 1 023.
Somme géométrique : 1 + 2 + 4 + … + 29 (10 termes, q = 2) = 1 × (1 − 210) / (1 − 2) = 1 023.
Lexique
- somme partielle
- somme Sn des n premiers termes
- converger
- se rapprocher d'une limite finie
- diverger
- ne pas avoir de limite finie
- série géométrique
- somme infinie des termes d'une suite géométrique
Les erreurs fréquentes à éviter
Piège — oublier le « +1 » en comptant les termes. De 5 à 50 avec un pas de 3, le nombre de termes est (50 − 5) / 3 + 1 = 16, pas 15. De même, de u_4 à u_10 il y a 10 − 4 + 1 = 7 termes.
Piège — appliquer la formule de la somme infinie à tort. u_1 / (1 − q) n'a de sens que pour |q| < 1. Pour q = 2, elle donnerait un nombre négatif alors que tous les termes sont positifs : c'est absurde.
Attention Une somme infinie de termes positifs n'est pas forcément infinie (exemple 0,999…), mais elle n'est finie que si les termes tendent vers 0 assez vite. La formule u1 / (1 − q) n'est valable que si |q| < 1.
L'astuce du prof
Astuce. Pour contrôler une somme arithmétique, multiplie le nombre de termes par la moyenne du premier et du dernier : si ton résultat n'est pas de cet ordre de grandeur, refais le calcul.
Exercices corrigés
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Exercice 1 — La somme de Gauss
Calcule 1 + 2 + 3 + … + 50.
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Il y a 50 termes, le premier vaut 1 et le dernier 50. La somme est 50 × (1 + 50) / 2 = 50 × 512 = 1 275.
Exercice 2 — Compter les termes
Calcule 5 + 8 + 11 + … + 50.
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C'est une suite de raison 3. Le dernier terme vérifie 50 = 5 + 3(n − 1), donc n − 1 = 15 et il y a 16 termes. D'où S = 16 × (5 + 50) / 2 = 8 × 55 = 440.