Au programme de ce chapitre
- I. Dérivées des fonctions de référence
- II. Démontrer les règles de calcul
- III. Pièges et entraînement
- Savoir-faire
- Exercices types corrigés
- Teste-toi — vrai ou faux ?
- Pièges fréquents et astuces
- À retenir
Un exemple corrigé
Exemple Racine carrée (x > 0) : [√(x + h) − √x]/h = [(x + h) − x] / [h(√(x + h) + √x)] = 1/(√(x + h) + √x) → 1/(2√x). On a multiplié par l'expression conjuguée.
Extrait du cours
En mathématiques 6 périodes, on ne se contente pas d'utiliser les formules : on veut comprendre d'où elles viennent. Ce chapitre démontre, à partir de la définition du nombre dérivé, les dérivées des fonctions de référence et les règles de calcul.
Sinus. Avec la formule d'addition : [sin(x + h) − sin x]/h = sin x · (cos h − 1)/h + cos x · (sin h)/h.
On utilise les deux limites limh→0 (sin h)/h = 1 et limh→0 (cos h − 1)/h = 0. Cette dernière se prouve ainsi : (cos h − 1)/h = (cos² h − 1)/[h(cos h + 1)] = −(sin h/h) · sin h/(cos h + 1) → −1 · 02 = 0.
Lexique
- démonstration
- raisonnement qui établit une propriété à partir de définitions et de résultats admis
- expression conjuguée
- facteur √A + √B utilisé pour éliminer une différence de racines
- limite remarquable
- limite connue comme (sin h)/h → 1
- réciproque
- énoncé obtenu en échangeant hypothèse et conclusion
Les erreurs fréquentes à éviter
Piège — Passer à la limite sans justifier. Écrire « h → 0, donc ça tend vers… » ne suffit pas : indique la propriété utilisée (continuité de la racine, limite remarquable, produit de limites).
Piège — Prendre un exemple pour une preuve. Vérifier une règle pour n = 2 ou n = 3 ne démontre rien. Une preuve doit valoir pour tout n : développement général, récurrence ou factorisation.
Attention La réciproque du théorème est fausse : une fonction continue n'est pas forcément dérivable (|x| est continue en 0 mais pas dérivable). Dans une démonstration, chaque passage à la limite doit être justifié (continuité, limite connue), pas seulement « deviné ».
L'astuce du prof
Astuce. Quand le taux contient une racine, pense au conjugué ; quand il contient des fractions, pense au dénominateur commun. Dans les deux cas, le but est de faire apparaître un facteur h au numérateur.
Exercices corrigés
Cherche d'abord seul, puis ouvre la correction.
Exercice 1 — Le cube
Démontre à partir de la définition que la dérivée de f(x) = x³ est 3x².
Voir la correction
Je développe (x + h)³ = x³ + 3x²h + 3xh² + h³. Alors (f(x + h) − f(x))/h = (3x²h + 3xh² + h³)/h = 3x² + 3xh + h². Quand h tend vers 0, les termes 3xh et h² tendent vers 0 : f′(x) = 3x².
Exercice 2 — Un inverse du carré
Démontre que la dérivée de f(x) = 1/x² est −2/x³ (x ≠ 0).
Voir la correction
Je réduis au même dénominateur : 1/(x + h)² − 1/x² = [x² − (x + h)²]/[x²(x + h)²] = −(2xh + h²)/[x²(x + h)²]. Après division par h, le taux vaut −(2x + h)/[x²(x + h)²]. Quand h tend vers 0, il tend vers −2x/(x²·x²) = −2/x³.