Au programme de ce chapitre
- I. Équations de base
- II. Équations plus élaborées
- III. Modéliser un phénomène périodique
- Savoir-faire
- Exercices types corrigés
- Teste-toi — vrai ou faux ?
- Pièges fréquents et astuces
- À retenir
Un exemple corrigé
Exemple cos 2x = 12 ⇔ 2x = ±π/3 + 2kπ ⇔ x = ±π/6 + kπ. Attention, la division par 2 transforme 2kπ en kπ. Dans [0 ; 2π[ : S = {π/6 ; 5π/6 ; 7π/6 ; 11π/6}.
Extrait du cours
À quelle date le jour dure-t-il exactement 14 heures à Bruxelles ? Pour répondre, on modélise la durée du jour par une sinusoïde puis on résout une équation trigonométrique. Ces équations ont en général une infinité de solutions, qu'il faut savoir décrire toutes.
Lexique
- solution générale
- écriture de toutes les solutions à l'aide d'un entier k
- angle de référence
- angle connu ayant la valeur trigonométrique cherchée
- phénomène périodique
- phénomène qui se répète à intervalles réguliers
- modèle sinusoïdal
- description d'un phénomène par une fonction a sin(b(t − c)) + d
Les erreurs fréquentes à éviter
Piège — Ne garder que la solution de la calculatrice. Ta machine donne une seule valeur (par exemple arcsin 12 = π/6). L'autre famille, π − π/6 + 2kπ, est tout aussi valable : ne l'oublie pas.
Piège — Oublier de diviser 2kπ. Dans cos 2x = 1/2, on écrit 2x = ±π/3 + 2kπ, puis x = ±π/6 + kπ. Garder « + 2kπ » donnerait deux fois trop peu de solutions.
Attention Dans un problème concret, une équation trigonométrique a une infinité de solutions mathématiques, mais seules celles qui ont un sens (ici 1 ≤ t ≤ 365) sont à garder. Travaille en radians et vérifie chaque solution dans le modèle.
L'astuce du prof
Astuce Une équation du type 2cos² x − cos x − 1 = 0 se ramène au second degré en posant t = cos x : 2t² − t − 1 = 0 donne t = 1 ou t = −1/2. N'oublie pas que t doit appartenir à [−1 ; 1] : une valeur comme t = 3 serait à rejeter.
Exercices corrigés
Cherche d'abord seul, puis ouvre la correction.
Exercice 1 — Une équation de base
Résous dans [0 ; 2π[ : 2 cos x − √2 = 0.
Voir la correction
J'isole : cos x = √2/2. Comme cos(π/4) = √2/2, les solutions sont x = ±π/4 + 2kπ. Dans [0 ; 2π[, on garde π/4 et −π/4 + 2π = 7π/4. S = {π/4 ; 7π/4}.
Exercice 2 — Une tangente
Résous tan x = −1 dans ℝ, puis dans [0 ; 2π[.
Voir la correction
On sait que tan(−π/4) = −1. La tangente ayant pour période π, les solutions sont x = −π/4 + kπ (une seule famille). Dans [0 ; 2π[, k = 1 donne 3π/4 et k = 2 donne 7π/4. S = {3π/4 ; 7π/4}.