Au programme de ce chapitre
- I. Probabilité conditionnelle
- II. Les arbres pondérés
- III. S'entraîner
- Savoir-faire
- Exercices types corrigés
- Teste-toi — vrai ou faux ?
- Pièges fréquents et astuces
- À retenir
La définition à retenir
Définition Si P(B) ≠ 0, la probabilité de A sachant B est P(A | B) = P(A ∩ B) / P(B). On se place dans l'univers réduit où B est réalisé.
🔒 Infographie récapitulative du chapitreIncluse dans le cours complet, avec la méthode et les exercices corrigés.La voir gratuitement pendant 7 jours
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Un exemple corrigé
Exemple Une maladie touche 2 % de la population. Le test est positif chez 95 % des malades et chez 10 % des personnes saines.
P(+) = 0,02 × 0,95 + 0,98 × 0,10 = 0,019 + 0,098 = 0,117.
P(M | +) = 0,019 / 0,117 ≈ 0,162 : seuls 16 % des tests positifs correspondent à un malade, car les personnes saines sont bien plus nombreuses.
P(+) = 0,02 × 0,95 + 0,98 × 0,10 = 0,019 + 0,098 = 0,117.
P(M | +) = 0,019 / 0,117 ≈ 0,162 : seuls 16 % des tests positifs correspondent à un malade, car les personnes saines sont bien plus nombreuses.
Lexique
- probabilité conditionnelle
- P(A | B), probabilité de A quand on sait que B est réalisé
- arbre pondéré
- schéma des étapes d'une expérience avec les probabilités sur les branches
- indépendants
- la réalisation de l'un ne change pas la probabilité de l'autre
- formule de Bayes
- permet de « retourner » une probabilité conditionnelle
Les erreurs fréquentes à éviter
Piège — inverser le conditionnement. « 95 % des malades sont positifs » ne veut pas dire « 95 % des positifs sont malades ». Pour passer de l'un à l'autre, il faut la formule de Bayes et la proportion de malades dans la population.
Piège — oublier de modifier les branches sans remise. Après avoir tiré une boule rouge sans remise parmi 4 rouges sur 10, la deuxième branche passe à 39 et non à 4/10. Le dénominateur et le numérateur changent.
Attention
- P(A | B) et P(B | A) sont en général différentes (P(+ | M) = 0,95 mais P(M | +) ≈ 0,16).
- Incompatibles et indépendants ne veulent pas dire la même chose : deux événements incompatibles de probabilités non nulles ne sont jamais indépendants.
L'astuce du prof
Astuce. Quand un énoncé t'embrouille, imagine un grand nombre de personnes (par exemple 10 000) et remplis un tableau d'effectifs : les « pourcentages sachant que » deviennent de simples divisions.
Exercices corrigés
Cherche d'abord seul, puis ouvre la correction.
Exercice 1 — Probabilité conditionnelle et indépendance
On donne P(A) = 0,5 ; P(B) = 0,4 et P(A ∩ B) = 0,15. Calcule P(A | B), P(B | A) et dis si A et B sont indépendants.
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Appliquons la définition : P(A | B) = 0,15/0,4 = 0,375 et P(B | A) = 0,15/0,5 = 0,3. Pour l'indépendance, on compare P(A) × P(B) = 0,5 × 0,4 = 0,2 à P(A ∩ B) = 0,15. Les deux valeurs diffèrent : A et B ne sont pas indépendants.
Exercice 2 — Option et genre
Dans une école, 150 élèves de 6e secondaire sont répartis ainsi : 90 filles et 60 garçons. 54 filles et 24 garçons suivent l'option sciences. On choisit un élève au hasard. Sachant qu'il suit l'option sciences, quelle est la probabilité que ce soit une fille ? Et, sachant que c'est un garçon, qu'il suive les sciences ?
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Dressons le tableau : 54 + 24 = 78 élèves suivent les sciences. Parmi ces 78, 54 sont des filles : P(fille | sciences) = 5478 = 9/13. Parmi les 60 garçons, 24 suivent les sciences : P(sciences | garçon) = 2460 = 2/5.