Au programme de ce chapitre
- I. Définition
- II. La fonction ln
- III. S'entraîner
- Savoir-faire
- Exercices types corrigés
- Teste-toi — vrai ou faux ?
- Pièges fréquents et astuces
- À retenir
La définition à retenir
Définition Pour a > 0, a ≠ 1 et x > 0 : loga x = y ⇔ ay = x. La fonction loga est la réciproque de x ↦ ax.
ln x = loge x (logarithme népérien) ; log x = log10 x (logarithme décimal).
ln x = loge x (logarithme népérien) ; log x = log10 x (logarithme décimal).
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Un exemple corrigé
Exemple log2 32 = 5 car 25 = 32 ; log 0,001 = −3 car 10−3 = 0,001 ; ln e³ = 3 ; log9 3 = 12 car 912 = 3.
Lexique
- logarithme
- exposant à donner à la base pour obtenir le nombre
- logarithme népérien
- ln, logarithme de base e
- logarithme décimal
- log, logarithme de base 10
- changement de base
- loga x = ln x / ln a
Les erreurs fréquentes à éviter
Piège — argument non positif. ln(−3) et ln 0 n'existent pas. Pour ln(x − 2), il faut x > 2. Cherche toujours le domaine avant de résoudre ou de dériver.
Piège — ln n'est pas toujours positif. Pour 0 < x < 1, ln x est négatif (ln 0,5 ≈ −0,69). Cela change le signe d'un quotient ou le sens d'une inégalité quand on multiplie par un logarithme.
Attention
- ln(a + b) n'est pas ln a + ln b.
- ln(x²) = 2 ln |x| : la formule 2 ln x ne vaut que pour x > 0.
- Un logarithme n'existe que pour un argument strictement positif : cherche toujours le domaine.
L'astuce du prof
Astuce Sur la calculatrice, seules les touches ln et log existent souvent : log3 20 = ln 20 / ln 3 ≈ 2,727.
Exercices corrigés
Cherche d'abord seul, puis ouvre la correction.
Exercice 1 — Premiers logarithmes
Calcule : log3 81 ; log 1 000 ; ln(1/e²) ; log4 2.
Voir la correction
Cherchons chaque exposant. 34 = 81 donc log3 81 = 4. 103 = 1 000 donc log 1 000 = 3. 1/e² = e−2 donc ln(1/e²) = −2. Enfin 412 = √4 = 2, donc log4 2 = 1/2.
Exercice 2 — Simplifier
Simplifie : a) log 4 + log 25 ; b) 2 log3 6 − log3 4 ; c) log9 27.
Voir la correction
Pour a), la somme devient le logarithme du produit : log(4 × 25) = log 100 = 2. Pour b), on fait entrer le 2 en exposant puis on applique le quotient : log3(364) = log3 9 = 2. Pour c), changeons de base : log9 27 = ln 27 / ln 9 = 3 ln 3 / (2 ln 3) = 3/2.