Au programme de ce chapitre
- I. Fonction réciproque
- II. Arcsin, arccos, arctan
- III. S'entraîner
- Savoir-faire
- Exercices types corrigés
- Teste-toi — vrai ou faux ?
- Pièges fréquents et astuces
- À retenir
La définition à retenir
Définition Une fonction f : A → B est bijective si chaque y de B a exactement un antécédent x dans A. Sa réciproque f−1 : B → A est définie par f−1(y) = x ⇔ f(x) = y. Une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle y est bijective vers son image.
Un exemple corrigé
Exemple f(x) = 2x + 3 : y = 2x + 3 ⇔ x = (y − 3)/2, donc f−1(x) = (x − 3)/2.
f(x) = x² n'est pas bijective sur ℝ ; restreinte à [0 ; +∞[, sa réciproque est √x. De même, ln est la réciproque de exp.
f(x) = x² n'est pas bijective sur ℝ ; restreinte à [0 ; +∞[, sa réciproque est √x. De même, ln est la réciproque de exp.
Lexique
- bijection
- fonction où chaque image a exactement un antécédent
- fonction réciproque
- fonction f−1 qui « défait » f
- arcsin
- réciproque de sin restreint à [−π/2 ; π/2]
- arctan
- réciproque de tan restreinte à ]−π/2 ; π/2[
Les erreurs fréquentes à éviter
Piège — oublier la restriction d'intervalle. arccos(cos x) = x seulement pour x dans [0 ; π]. Pour x = 7π/6, le résultat est 5π/6, car arccos renvoie toujours un angle de [0 ; π].
Piège — f<sup>−1</sup> n'est pas 1/f. La réciproque défait la fonction, l'inverse multiplicatif divise 1 par la fonction. Et sur la calculatrice, la touche sin−1 donne arcsin, pas 1/sin ; vérifie aussi le mode radian.
Attention
- arcsin(sin x) = x seulement si x ∈ [−π/2 ; π/2] : arcsin(sin(5π/6)) = arcsin(12) = π/6, pas 5π/6.
- La touche sin−1 de la calculatrice est arcsin, pas 1/sin. Travaille en mode radian.
L'astuce du prof
Astuce. Pour calculer cos(arctan 2) ou sin(arccos x), dessine un triangle rectangle : l'angle θ, un côté opposé 2 et un côté adjacent 1 donnent l'hypoténuse √5, et tu lis directement cos θ = 1/√5.
Exercices corrigés
Cherche d'abord seul, puis ouvre la correction.
Exercice 1 — Deux réciproques
Détermine la réciproque de a) f(x) = 3x − 5 ; b) g(x) = ex + 2, avec son domaine.
Voir la correction
a) Posons y = 3x − 5 ; alors x = (y + 5)/3, donc f−1(x) = (x + 5)/3, définie sur ℝ. b) Posons y = ex + 2 ; alors ex = y − 2, et ce n'est possible que pour y > 2 : x = ln(y − 2). Donc g−1(x) = ln(x − 2), de domaine ]2 ; +∞[, qui est l'image de g.
Exercice 2 — Valeurs exactes
Calcule arcsin(−12), arccos(−√32), arctan(√3) et arccos 1.
Voir la correction
Pour arcsin(−12), on cherche y entre −π/2 et π/2 avec sin y = −12 : y = −π/6. Pour arccos(−√32), on cherche y entre 0 et π avec cos y = −√32 : y = 5π/6. Pour arctan(√3), tan(π/3) = √3 donc π/3. Enfin cos 0 = 1, donc arccos 1 = 0.