Au programme de ce chapitre
- I. Les outils de base
- II. Propriétés et binôme de Newton
- III. S'entraîner
- Savoir-faire
- Exercices types corrigés
- Teste-toi — vrai ou faux ?
- Pièges fréquents et astuces
- À retenir
La définition à retenir
Définition Principe multiplicatif : si un choix se fait en deux étapes, avec n1 possibilités pour la première et n2 pour la seconde, il y a n1 × n2 possibilités en tout.
Factorielle : n! = n × (n − 1) × … × 2 × 1, avec 0! = 1.
Permutations de n objets distincts (les ranger tous dans un ordre) : Pn = n!
Factorielle : n! = n × (n − 1) × … × 2 × 1, avec 0! = 1.
Permutations de n objets distincts (les ranger tous dans un ordre) : Pn = n!
Un exemple corrigé
Exemple
- Code PIN à 4 chiffres : 104 = 10 000 codes (répétition permise, ordre important).
- Podium (1er, 2e, 3e) parmi 8 coureurs : A83 = 8 × 7 × 6 = 336.
- Choisir 3 délégués (sans fonction) parmi 25 élèves : C253 = (25 × 24 × 23) / (3 × 2 × 1) = 2 300.
Lexique
- factorielle
- n! = n × (n − 1) × … × 1, avec 0! = 1
- arrangement
- choix ordonné de p objets parmi n, sans répétition
- combinaison
- choix non ordonné de p objets parmi n, sans répétition
- permutation
- rangement de tous les objets dans un ordre
Les erreurs fréquentes à éviter
Piège — arrangement ou combinaison ? Choisir 3 élèves pour un podium (1er, 2e, 3e) n'est pas la même chose que choisir 3 élèves pour une équipe. Dans le premier cas An3, dans le second Cn3, six fois plus petit.
Piège — (a + b)<sup>n</sup> n'est pas a<sup>n</sup> + b<sup>n</sup>. (x + 2)3 = x3 + 6x2 + 12x + 8 et non x3 + 8. Les termes du milieu viennent des coefficients du triangle de Pascal.
Attention Lorsque certains objets sont identiques, on divise pour ne pas compter plusieurs fois le même rangement : permutations avec répétition n! / (n1! n2! …). Les anagrammes de LIEGE (5 lettres dont deux E) sont 5! / 2! = 60, et non 120.
L'astuce du prof
Astuce Pour calculer Cnp à la main, simplifie avant de multiplier : C103 = (10 × 9 × 8)/(3 × 2 × 1) = 10 × 3 × 4 = 120. Sur la calculatrice : touche nCr (et nPr pour les arrangements).
Exercices corrigés
Cherche d'abord seul, puis ouvre la correction.
Exercice 1 — Calculs de base
Calcule 7!/5!, C83 et A62.
Voir la correction
7!/5! = 7 × 6 = 42 (les facteurs 5 × 4 × 3 × 2 × 1 se simplifient). C83 = (8 × 7 × 6)/(3 × 2 × 1) = 3366 = 56. A62 = 6 × 5 = 30.
Exercice 2 — Délégués et bureau
Une classe de 6e secondaire compte 12 élèves volontaires pour le conseil de participation.
a) De combien de façons peut-on choisir 4 délégués, sans fonction particulière ?
b) De combien de façons peut-on choisir un président, un vice-président et un secrétaire ?
a) De combien de façons peut-on choisir 4 délégués, sans fonction particulière ?
b) De combien de façons peut-on choisir un président, un vice-président et un secrétaire ?
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a) Ici seul le groupe compte, pas l'ordre : C124 = (12 × 11 × 10 × 9)/(4 × 3 × 2 × 1) = 11 88024 = 495.
b) Les trois rôles sont différents, donc l'ordre compte : A123 = 12 × 11 × 10 = 1 320.
b) Les trois rôles sont différents, donc l'ordre compte : A123 = 12 × 11 × 10 = 1 320.