Au programme de ce chapitre
- I. Une loi continue
- II. Calculer des probabilités
- III. S'entraîner
- Savoir-faire
- Exercices types corrigés
- Teste-toi — vrai ou faux ?
- Pièges fréquents et astuces
- À retenir
La définition à retenir
Définition Une variable aléatoire X suit la loi normale N(μ ; σ) de moyenne μ et d'écart-type σ si ses probabilités sont données par l'aire sous la courbe de Gauss (en cloche), symétrique autour de x = μ. L'aire totale sous la courbe vaut 1 et P(a ≤ X ≤ b) est l'aire entre x = a et x = b.
Un exemple corrigé
Exemple La taille X des garçons de 18 ans suit (modèle) N(178 ; 7) en cm.
- P(X ≤ 185) = Φ(1) ≈ 0,841.
- P(X > 192) = 1 − Φ(2) ≈ 1 − 0,977 = 0,023.
- Taille dépassée par 10 % des garçons : Φ(z) = 0,90 donne z ≈ 1,28, donc a ≈ 178 + 1,28 × 7 ≈ 187 cm.
Lexique
- courbe de Gauss
- courbe en cloche, symétrique, de la loi normale
- loi centrée réduite
- loi normale de moyenne 0 et d'écart-type 1, notée N(0 ; 1)
- densité
- fonction dont l'aire sous la courbe donne les probabilités
- centrer-réduire
- calculer z = (x − μ)/σ
Les erreurs fréquentes à éviter
Piège — oublier de centrer-réduire. La table ne donne que N(0 ; 1). Lire Φ(900) au lieu de Φ(z) avec z = (900 − 1 000)/50 n'a aucun sens : calcule toujours z avant d'ouvrir la table.
Piège — « plus grand que » sans complément. La table donne P(Z ≤ z). Pour P(X > a), il faut 1 − Φ(z). Et pour un z négatif, passe par Φ(−z) = 1 − Φ(z), jamais en recopiant directement la table.
Attention Pour une loi continue, P(X = a) = 0 : P(X ≤ a) et P(X < a) sont égales. Mais une aire « à droite » se calcule par le complément : P(X > a) = 1 − P(X ≤ a).
L'astuce du prof
Astuce. Dessine une cloche, place μ au centre, marque les bornes et hachure la zone cherchée. Avant de calculer, tu sais si la réponse doit être inférieure à 0,5, proche de 0,68 ou très petite.
Exercices corrigés
Cherche d'abord seul, puis ouvre la correction.
Exercice 1 — La règle 68-95-99,7
X suit N(50 ; 4). Donne P(46 ≤ X ≤ 54), P(42 ≤ X ≤ 58) et P(X ≥ 50).
Voir la correction
Observons les bornes : 46 = 50 − 4 et 54 = 50 + 4, donc l'intervalle est μ ± σ et P ≈ 0,683. De même 42 = 50 − 8 et 58 = 50 + 8 : intervalle μ ± 2σ, P ≈ 0,954. Enfin la courbe est symétrique autour de 50, donc P(X ≥ 50) = 0,5.
Exercice 2 — Paquets de frites
La masse X (en g) d'un paquet de frites surgelées suit N(500 ; 10). Calcule la probabilité qu'un paquet pèse moins de 485 g, puis plus de 520 g.
Voir la correction
Pour 485 g : z = (485 − 500)/10 = −1,5, donc P(X < 485) = Φ(−1,5) = 1 − Φ(1,5) = 1 − 0,9332 = 0,0668. Pour 520 g : z = 2, donc P(X > 520) = 1 − Φ(2) = 1 − 0,9772 = 0,0228. Environ 6,7 % des paquets sont trop légers et 2,3 % trop lourds.