Au programme de ce chapitre
- I. Définition et primitives usuelles
- II. Calculer des primitives
- III. S'entraîner
- Savoir-faire
- Exercices types corrigés
- Teste-toi — vrai ou faux ?
- Pièges fréquents et astuces
- À retenir
La définition à retenir
Définition Une fonction F est une primitive de f sur un intervalle I si F′(x) = f(x) pour tout x de I. Si F est une primitive, toutes les primitives sont les fonctions F(x) + C (C constante réelle). On note ∫ f(x) dx = F(x) + C (intégrale indéfinie).
Un exemple corrigé
Exemple
- ∫ (3x² − 4x + 5) dx = x³ − 2x² + 5x + C.
- ∫ 2x/(x² + 1) dx = ln(x² + 1) + C (de la forme u′/u, et x² + 1 > 0).
- ∫ √x dx = ∫ x12 dx = (23) x32 + C.
Lexique
- primitive
- fonction dont la dérivée est la fonction donnée
- intégrale indéfinie
- ensemble des primitives, noté ∫ f(x) dx
- constante d'intégration
- constante C qui distingue les primitives entre elles
Les erreurs fréquentes à éviter
Piège — oublier de diviser par a. Une primitive de e3x est e3x/3, pas e3x : la dérivée de e3x vaut 3e3x. De même pour cos(ax + b) et sin(ax + b).
Piège — primitive d'un produit ou d'un quotient. On ne primitive pas terme à terme un produit ou un quotient. Pour x ex², il faut reconnaître u′ eu, et pas multiplier les primitives de x et de ex².
Attention
- La règle xn + 1/(n + 1) ne marche pas pour n = −1 : la primitive de 1/x est ln |x|.
- La primitive d'un produit n'est pas le produit des primitives.
- N'oublie pas la constante C.
L'astuce du prof
Astuce Vérifie toujours ta réponse en la dérivant : tu dois retrouver exactement la fonction de départ.
Exercices corrigés
Cherche d'abord seul, puis ouvre la correction.
Exercice 1 — Primitives de base
Donne une primitive de : a) 4x³ − 6x + 1 ; b) 1/x³ ; c) 3√x.
Voir la correction
Avec la règle xn + 1/(n + 1) terme par terme : a) x⁴ − 3x² + x. Pour b), 1/x³ = x−3 a pour primitive x−2/(−2) = −1/(2x²). Pour c), 3√x = 3x12, dont une primitive est 3 × (23) x32 = 2x32.
Exercice 2 — Formules usuelles
Donne une primitive de : a) sin(3x) ; b) e−2x ; c) 1/(x − 4) sur ]4 ; +∞[ ; d) 5/(1 + x²).
Voir la correction
On divise par le coefficient de x dans les fonctions de la forme f(ax). Ainsi sin(3x) a pour primitive −cos(3x)/3 et e−2x a pour primitive −e−2x/2. La fonction 1/(x − 4) a pour primitive ln(x − 4), car x − 4 > 0 sur l'intervalle. Enfin 5/(1 + x²) a pour primitive 5 arctan x.