Au programme de ce chapitre
- I. Croissance et décroissance exponentielles
- II. Sciences et société
- III. S'entraîner
- Savoir-faire
- Exercices types corrigés
- Teste-toi — vrai ou faux ?
- Pièges fréquents et astuces
- À retenir
La définition à retenir
Définition Une grandeur évolue de façon exponentielle si elle est multipliée par le même facteur à chaque unité de temps : N(t) = N0 · at (ou N0 ekt avec k = ln a).
Une hausse de t % correspond au facteur a = 1 + t/100 ; une baisse de t %, au facteur a = 1 − t/100.
Une hausse de t % correspond au facteur a = 1 + t/100 ; une baisse de t %, au facteur a = 1 − t/100.
Un exemple corrigé
Exemple Intérêts composés : 5 000 € placés à 2 % par an deviennent 5 000 × 1,0210 ≈ 6 094,97 € après 10 ans. Le capital double quand 1,02n = 2, soit n = ln 2 / ln 1,02 ≈ 35 ans.
Lexique
- demi-vie
- durée au bout de laquelle la moitié des noyaux radioactifs se sont désintégrés
- intérêts composés
- intérêts ajoutés au capital et produisant à leur tour des intérêts
- pH
- mesure de l'acidité : pH = −log[H3O+]
- facteur multiplicatif
- nombre par lequel on multiplie une grandeur à chaque période
Les erreurs fréquentes à éviter
Piège — taux et facteur. Pour une baisse de 15 %, écrire N0 × 0,15 donne 15 % de la valeur, pas le résultat de la baisse. Le facteur correct est 1 − 0,15 = 0,85.
Piège — demi-vie. Après deux demi-vies, il ne reste pas rien : il reste 14 de la quantité (et 18 après trois). Le temps pour tout perdre n'existe pas dans le modèle.
Attention Une hausse de 2 % donne le facteur 1,02 (et non 0,02 ou 2) ; une baisse de 15 % donne 0,85. Deux hausses successives de 10 % ne font pas 20 %, mais 1,1² = 1,21, soit 21 %.
L'astuce du prof
Astuce. Pour estimer un temps de doublement à t % par an, utilise la règle des 70 : environ 70/t années. À 3 % cela donne 23 ans, et le calcul exact ln 2 / ln 1,03 donne 23,4.
Exercices corrigés
Cherche d'abord seul, puis ouvre la correction.
Exercice 1 — Hausses et baisses
Donne les facteurs multiplicatifs d'une hausse de 4 % et d'une baisse de 12 %. Un prix augmente de 20 % puis baisse de 20 % : quel est le pourcentage d'évolution global ?
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Une hausse de 4 % donne le facteur 1,04 et une baisse de 12 % donne 0,88. Pour deux évolutions successives, on multiplie : 1,2 × 0,8 = 0,96. Le facteur global est inférieur à 1, donc c'est une baisse de 1 − 0,96 = 4 %, et non un retour au prix de départ.
Exercice 2 — Un livret d'épargne
On place 8 000 euros à 2,5 % par an, à intérêts composés. Quel est le capital après 6 ans ? Au bout de combien d'années entières dépasse-t-il 10 000 euros ?
Voir la correction
Le capital après n années est C(n) = 8 000 × 1,025n. Pour n = 6, on trouve 8 000 × 1,1597 ≈ 9 277,55 euros. Pour 10 000 euros : 1,025n ≥ 1,25 donne n ≥ ln 1,25 / ln 1,025 ≈ 9,04. À 9 ans le capital est encore 9 990,90 euros, donc il faut 10 ans (10 240,68 euros).