Au programme de ce chapitre
- I. Intégration par parties
- II. Intégration par substitution
- III. S'entraîner
- Savoir-faire
- Exercices types corrigés
- Teste-toi — vrai ou faux ?
- Pièges fréquents et astuces
- À retenir
Un exemple corrigé
Exemple
- ∫ x cos x dx : u = x, v′ = cos x ; = x sin x − ∫ sin x dx = x sin x + cos x + C.
- ∫1e ln x dx : u = ln x (u′ = 1/x), v′ = 1 (v = x) ; = [x ln x]1e − ∫1e 1 dx = e − (e − 1) = 1.
Extrait du cours
Comment intégrer x ex, ln x ou 2x (x² + 1)³ ? Les primitives usuelles ne suffisent plus. Deux techniques, l'intégration par parties et le changement de variable, ramènent ces calculs à des intégrales connues.
Lexique
- intégration par parties
- technique basée sur la dérivée d'un produit
- changement de variable
- remplacer x par une nouvelle variable t = g(x)
- bornes d'intégration
- valeurs a et b entre lesquelles on intègre
Les erreurs fréquentes à éviter
Piège — mauvais choix de u. Pour ∫ x ex dx, poser u = ex et v′ = x conduit à ∫ (x²/2) ex dx, plus compliquée qu'au départ. Si le degré augmente, change ton choix.
Piège — dx mal remplacé. Après t = x² + 1, il ne doit plus rester ni x ni dx. Écris dt = 2x dx et remplace tout le bloc ; pour un x isolé, réécris-le avec t, comme x = t − 1.
Attention Quand on change de variable dans une intégrale définie, on change les bornes (ou on revient à x avant de les remplacer). Et dx doit être entièrement remplacé : on ne laisse jamais un mélange de x et de t.
L'astuce du prof
Astuce. Pour ln x, arctan x ou arcsin x seuls, pose v′ = 1 : tu deviens un produit 1 × ln x et la dérivée de ln x se simplifie.
Exercices corrigés
Cherche d'abord seul, puis ouvre la correction.
Exercice 1 — Une primitive par parties
Calcule ∫ x sin x dx.
Voir la correction
Posons u = x (donc u′ = 1) et v′ = sin x (donc v = −cos x). La formule donne −x cos x − ∫ (−cos x) dx = −x cos x + ∫ cos x dx = −x cos x + sin x + C. Pour vérifier, je dérive : −cos x + x sin x + cos x = x sin x, ce qui est bien la fonction de départ.
Exercice 2 — Par parties, version définie
Calcule ∫01 x e−x dx.
Voir la correction
Le facteur x se simplifie en dérivant : u = x et v′ = e−x, donc u′ = 1 et v = −e−x. L'intégrale vaut [−x e−x]01 + ∫01 e−x dx = −e−1 + [−e−x]01 = −1/e + (1 − 1/e) = 1 − 2/e ≈ 0,264.