Au programme de ce chapitre
- I. Le vocabulaire
- II. Les règles de calcul
- III. S'entraîner
- Savoir-faire
- Exercices types corrigés
- Teste-toi — vrai ou faux ?
- Pièges fréquents et astuces
- À retenir
La définition à retenir
Définition Une expérience aléatoire a plusieurs résultats possibles qu'on ne peut prévoir. L'ensemble des résultats est l'univers Ω. Un événement est une partie de Ω.
- Ā (contraire de A) : A n'est pas réalisé.
- A ∩ B : A et B sont réalisés ; A ∪ B : au moins un des deux est réalisé.
- A et B sont incompatibles si A ∩ B = ∅.
Un exemple corrigé
Exemple On lance deux dés équilibrés : 6 × 6 = 36 résultats équiprobables.
- P(somme = 7) = 636 = 16 (couples (1;6), (2;5), (3;4), (4;3), (5;2), (6;1)).
- P(au moins un 6) = 1 − P(aucun 6) = 1 − 2536 = 11/36.
Lexique
- univers
- ensemble de tous les résultats possibles, noté Ω
- événement contraire
- Ā, réalisé quand A ne l'est pas
- incompatibles
- qui ne peuvent pas se produire en même temps
- équiprobabilité
- tous les résultats ont la même probabilité
Les erreurs fréquentes à éviter
Piège — additionner sans vérifier. On n'a le droit d'additionner P(A) et P(B) que si A et B sont incompatibles. Sinon, l'intersection serait comptée deux fois, et on pourrait même dépasser 1.
Piège — résultats non équiprobables. Pour deux dés, les sommes 2, 3, …, 12 n'ont pas la même chance (7 arrive 6 fois sur 36, 2 une seule fois). Je compte toujours sur les 36 couples équiprobables.
Attention « Au moins un » se calcule presque toujours par le contraire (« aucun »). Et on n'additionne deux probabilités que si les événements sont incompatibles : sinon, on retire l'intersection comptée deux fois.
L'astuce du prof
Astuce. Dès que tu lis « au moins un », écris 1 − P(aucun). Le calcul de « aucun » est presque toujours un simple produit ou un seul cas.
Exercices corrigés
Cherche d'abord seul, puis ouvre la correction.
Exercice 1 — Événements sur un dé
On lance un dé équilibré. A : « le résultat est pair » ; B : « le résultat est au moins 4 ». Détermine P(A), P(B), P(A ∩ B) et P(A ∪ B).
Voir la correction
Écrivons les ensembles : A = {2 ; 4 ; 6} et B = {4 ; 5 ; 6}. Donc P(A) = 36 = 12 et P(B) = 1/2. A ∩ B = {4 ; 6}, donc P(A ∩ B) = 26 = 1/3. A ∪ B = {2 ; 4 ; 5 ; 6}, donc P(A ∪ B) = 46 = 2/3. Vérification : 12 + 12 − 13 = 2/3.
Exercice 2 — Pioche dans un sac
Un sac contient 3 jetons rouges, 5 bleus et 12 noirs. a) On tire un jeton : probabilité qu'il soit bleu ? Qu'il ne soit pas rouge ?
b) On tire deux jetons en même temps : probabilité qu'ils soient tous deux bleus ?
b) On tire deux jetons en même temps : probabilité qu'ils soient tous deux bleus ?
Voir la correction
Au total 20 jetons. Un tirage donne P(bleu) = 520 = 14 et P(pas rouge) = 1 − 320 = 17/20. Pour deux jetons tirés ensemble, les cas possibles sont C202 = 190 et les cas favorables C52 = 10, donc P = 10190 = 1/19.