Au programme de ce chapitre
- I. Les fonctions exponentielles
- II. Dérivée et limites
- III. S'entraîner
- Savoir-faire
- Exercices types corrigés
- Teste-toi — vrai ou faux ?
- Pièges fréquents et astuces
- À retenir
La définition à retenir
Définition Pour a > 0 et a ≠ 1, la fonction exponentielle de base a est f(x) = ax, définie sur ℝ.
Le nombre e ≈ 2,71828 est la base pour laquelle la tangente au graphe en (0 ; 1) a une pente 1. La fonction exp(x) = ex est l'unique fonction égale à sa dérivée et qui vaut 1 en 0.
Le nombre e ≈ 2,71828 est la base pour laquelle la tangente au graphe en (0 ; 1) a une pente 1. La fonction exp(x) = ex est l'unique fonction égale à sa dérivée et qui vaut 1 en 0.
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Un exemple corrigé
Exemple f(x) = x e−x. Par la règle du produit : f′(x) = 1 · e−x + x · (−e−x) = (1 − x) e−x. Comme e−x > 0, f′ a le signe de 1 − x : f croît sur ]−∞ ; 1], décroît ensuite ; maximum f(1) = 1/e ≈ 0,368.
Lexique
- nombre e
- base de l'exponentielle naturelle, e ≈ 2,71828
- fonction exponentielle
- fonction x ↦ ax avec a > 0 et a ≠ 1
- croissances comparées
- règles qui comparent exponentielles, puissances et logarithmes à l'infini
Les erreurs fréquentes à éviter
Piège — oublier u′. La dérivée de e−3x est −3e−3x, pas e−3x. On recopie l'exponentielle, mais on multiplie par la dérivée de l'exposant.
Piège — traiter e<sup>x</sup> comme une puissance de x. (ex)′ n'est pas x ex − 1 : la règle des puissances s'applique à xn, où l'exposant est fixe. Ici la variable est dans l'exposant, et (ex)′ = ex.
Attention
- ea + b = ea · eb, et non ea + eb.
- (ex)² = e2x, pas ex².
- La base doit être strictement positive : (−2)x n'est pas une fonction exponentielle.
L'astuce du prof
Astuce. Après avoir dérivé, factorise toujours eu. Comme il est strictement positif, le signe de f′ se lit sur le facteur restant, un simple polynôme.
Exercices corrigés
Cherche d'abord seul, puis ouvre la correction.
Exercice 1 — Simplifications
Simplifie : a) e5 · e−2 ; b) (e2x)3 / e4x ; c) 9x/2 écrit avec la base 3.
Voir la correction
a) Les exposants s'additionnent : e5 + (−2) = e3.
b) Au numérateur, (e2x)3 = e6x, puis le quotient donne e6x − 4x = e2x.
c) Comme 9 = 3², on obtient 9x/2 = (3²)x/2 = 3x.
b) Au numérateur, (e2x)3 = e6x, puis le quotient donne e6x − 4x = e2x.
c) Comme 9 = 3², on obtient 9x/2 = (3²)x/2 = 3x.
Exercice 2 — Quatre dérivées
Dérive : a) f(x) = 5e−2x ; b) g(x) = ex + x² ; c) h(x) = x² e3x ; d) k(x) = ex / (1 + ex).
Voir la correction
Pour a), l'exposant −2x a pour dérivée −2 : f′(x) = −10 e−2x. Pour b), g′(x) = ex + 2x. Pour c), règle du produit : h′(x) = 2x e3x + x² · 3e3x = x(3x + 2) e3x. Pour d), règle du quotient : k′(x) = (ex(1 + ex) − ex · ex)/(1 + ex)² = ex/(1 + ex)².