Au programme de ce chapitre
- I. Loi d'une variable aléatoire
- II. Un exemple de jeu
- III. S'entraîner
- Savoir-faire
- Exercices types corrigés
- Teste-toi — vrai ou faux ?
- Pièges fréquents et astuces
- À retenir
La définition à retenir
Définition Une variable aléatoire discrète X associe un nombre réel à chaque résultat d'une expérience aléatoire. Sa loi de probabilité donne les valeurs x1, …, xn et les probabilités pi = P(X = xi), avec p1 + … + pn = 1.
Un exemple corrigé
Exemple On lance un dé : sur 6, on gagne 10 € ; sur 4 ou 5, on gagne 2 € ; sinon on perd 3 €. Loi de X (gain) :
E(X) = 106 + 46 − 96 = 56 ≈ 0,83 €. E(X²) = 1006 + 86 + 276 = 22,5 ; V(X) = 22,5 − (56)² ≈ 21,81 ; σ ≈ 4,67 €. Le jeu est favorable au joueur : en moyenne il gagne 0,83 € par partie.
| xi | 10 | 2 | −3 |
|---|---|---|---|
| pi | 16 | 26 | 36 |
Lexique
- variable aléatoire
- nombre associé à chaque résultat d'une expérience
- espérance
- moyenne des valeurs pondérée par leurs probabilités
- variance
- moyenne des carrés des écarts à l'espérance
- jeu équitable
- jeu dont l'espérance du gain est nulle
Les erreurs fréquentes à éviter
Piège — oublier la mise. Si tu paies 2 euros pour recevoir 5 euros, le gain net vaut 3 euros, pas 5. Oublier la mise fausse E(X) et fait croire qu'un jeu défavorable est favorable.
Piège — E(X²) et (E(X))². Ces deux nombres sont différents : E(X²) = Σ xi² pi, alors que (E(X))² est le carré de l'espérance. La variance est leur différence, toujours positive ou nulle.
Attention Pense à déduire la mise : si on paie 2 € pour jouer et qu'on reçoit 5 €, le gain net est 3 €, pas 5 €.
L'astuce du prof
Astuce. Une variance négative est impossible : si tu en trouves une, tu as sans doute confondu E(X²) et (E(X))². Vérifie aussi que la somme des probabilités fait 1 avant de commencer.
Exercices corrigés
Cherche d'abord seul, puis ouvre la correction.
Exercice 1 — Probabilité manquante
La variable X prend les valeurs 0, 1, 2 et 3 avec les probabilités 0,1 ; 0,3 ; k et 0,2. Détermine k, puis E(X).
Voir la correction
La somme doit valoir 1 : 0,1 + 0,3 + k + 0,2 = 1, donc k = 0,4. Ensuite E(X) = 0 × 0,1 + 1 × 0,3 + 2 × 0,4 + 3 × 0,2 = 0,3 + 0,8 + 0,6 = 1,7.
Exercice 2 — Le dé équilibré
X est le résultat d'un dé équilibré. Calcule E(X), V(X) et σ(X).
Voir la correction
Chaque face a la probabilité 1/6. E(X) = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6)/6 = 216 = 3,5 ; on remarque que X ne prend jamais cette valeur. E(X²) = (1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36)/6 = 91/6, donc V(X) = 916 − 494 = 3512 ≈ 2,92 et σ(X) ≈ 1,71.