Au programme de ce chapitre
- I. Équations exponentielles
- II. Équations logarithmiques
- III. Inéquations
- IV. S'entraîner
- Savoir-faire
- Exercices types corrigés
- Teste-toi — vrai ou faux ?
- Pièges fréquents et astuces
Un exemple corrigé
Exemple
- 2x + 1 = 8x : 8x = 23x, donc x + 1 = 3x et x = 1/2.
- 3x = 7 : x = ln 7 / ln 3 ≈ 1,771.
- e2x − 5ex + 6 = 0 : on pose t = ex > 0 ; t² − 5t + 6 = 0 donne t = 2 ou t = 3, donc x = ln 2 ou x = ln 3.
Extrait du cours
Dans combien d'années un capital aura-t-il doublé ? Quand une substance radioactive aura-t-elle perdu 90 % de son activité ? Ces questions mènent à des équations où l'inconnue est un exposant.
Lexique
- condition d'existence
- condition pour que chaque logarithme ait un argument strictement positif
- changement de variable
- poser t = ex (ou ax) pour obtenir une équation du second degré
- équation exponentielle
- équation dont l'inconnue figure dans un exposant
Les erreurs fréquentes à éviter
Piège — oublier les conditions d'existence. Pour log x + log(x − 9) = 1, il faut x > 9. La racine x = −1 de l'équation du second degré est à rejeter, même si le calcul semble correct.
Piège — base inférieure à 1. Dans 0,9n < 0,5, passer aux logarithmes donne n ln 0,9 < ln 0,5, mais ln 0,9 est négatif : en divisant, le sens se retourne et n > ln 0,5 / ln 0,9.
Attention Oublier les conditions d'existence est l'erreur la plus fréquente : une « solution » qui rend un argument négatif ou nul doit être rejetée.
L'astuce du prof
Astuce Diviser par ln a quand a < 1 revient à diviser par un nombre négatif : le sens change. Exemple : 0,9n < 0,5 ⇔ n ln 0,9 < ln 0,5 ⇔ n > ln 0,5 / ln 0,9 ≈ 6,58.
Exercices corrigés
Cherche d'abord seul, puis ouvre la correction.
Exercice 1 — Même base
Résous : a) 5x = 125 ; b) 32x − 1 = 27 ; c) 7x = 20.
Voir la correction
Pour a), 125 = 5³, donc x = 3. Pour b), 27 = 3³, donc 2x − 1 = 3 et x = 2. Pour c), aucune puissance entière de 7 ne donne 20, on prend le logarithme : x = ln 20 / ln 7 ≈ 1,540.
Exercice 2 — Changement d'inconnue
Résous e2x − 7ex + 10 = 0.
Voir la correction
Posons t = ex, avec t > 0. L'équation devient t² − 7t + 10 = 0, de discriminant 49 − 40 = 9, donc t = (7 ± 3)/2 : t = 5 ou t = 2. Les deux sont strictement positives et conviennent. D'où ex = 5 ou ex = 2, soit S = {ln 2 ; ln 5}.