Au programme de ce chapitre
- I. Forme trigonométrique
- II. Calculs et formule de De Moivre
- III. Racines n-ièmes et équations
- Savoir-faire
- Exercices types corrigés
- Teste-toi — vrai ou faux ?
- Pièges fréquents et astuces
- À retenir
La définition à retenir
Définition Tout complexe z ≠ 0 s'écrit z = r (cos θ + i sin θ) = r cis θ, où r = |z| > 0 est le module et θ un argument (amplitude de l'angle entre l'axe réel et le vecteur qui représente z), défini à 2kπ près. On note aussi z = r eiθ (forme exponentielle).
Lien : a = r cos θ, b = r sin θ.
Lien : a = r cos θ, b = r sin θ.
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Un exemple corrigé
Exemple (1 + i)8 = (√2 cis(π/4))8 = 16 cis(2π) = 16.
(1 + i√3)6 = (2 cis(π/3))6 = 64 cis(2π) = 64.
De Moivre avec n = 2 : (cos θ + i sin θ)² = cos 2θ + i sin 2θ ; en développant, on retrouve cos 2θ = cos² θ − sin² θ et sin 2θ = 2 sin θ cos θ.
(1 + i√3)6 = (2 cis(π/3))6 = 64 cis(2π) = 64.
De Moivre avec n = 2 : (cos θ + i sin θ)² = cos 2θ + i sin 2θ ; en développant, on retrouve cos 2θ = cos² θ − sin² θ et sin 2θ = 2 sin θ cos θ.
Lexique
- argument
- amplitude de l'angle associé à un complexe, définie à 2kπ près
- forme trigonométrique
- écriture z = r(cos θ + i sin θ)
- formule de De Moivre
- (cis θ)n = cis(nθ)
- racine n-ième
- solution de l'équation zn = w
Les erreurs fréquentes à éviter
Piège — arctan sans regarder le quadrant. θ = arctan(b/a) ne convient que pour a > 0. Pour −1 + i, arctan(−1) = −π/4 est faux : le point est dans le 2e quadrant et θ = 3π/4. Dessine toujours le point.
Piège — oublier de mettre le module à la puissance n. (2 cis θ)5 = 25 cis(5θ) = 32 cis(5θ), et non 2 cis(5θ). De Moivre élève le module à la puissance n et multiplie l'argument par n.
Attention θ = arctan(b/a) ne donne le bon argument que si a > 0. Pour −1 − i, arctan(1) = π/4 est faux : le point est dans le 3e quadrant et θ = −3π/4 (ou 5π/4). Vérifie toujours le quadrant.
L'astuce du prof
Astuce. Pour zn = w, trouve la première solution z0, puis multiplie-la à chaque fois par cis(2π/n) : tu parcours les sommets du polygone régulier sans recalculer les arguments.
Exercices corrigés
Cherche d'abord seul, puis ouvre la correction.
Exercice 1 — Trois formes trigonométriques
Écris sous forme trigonométrique : a) 1 + i√3 ; b) −√3 + i ; c) −2i.
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a) r = √(1 + 3) = 2, cos θ = 12 et sin θ = √32 donnent θ = π/3 : 2 cis(π/3). b) r = √(3 + 1) = 2, cos θ = −√32 et sin θ = 12 : point du 2e quadrant, θ = 5π/6. c) Le point (0 ; −2) est sur l'axe vertical, r = 2 et θ = −π/2 : 2 cis(−π/2).
Exercice 2 — Produit et quotient
Soient z1 = 2 cis(π/6) et z2 = 3 cis(π/3). Calcule z1 z2 et z1/z2.
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Pour le produit, on multiplie les modules et on additionne les arguments : 2 × 3 = 6 et π/6 + π/3 = π/2, donc z1 z2 = 6 cis(π/2) = 6i. Pour le quotient, on divise les modules et on soustrait les arguments : z1/z2 = (23) cis(π/6 − π/3) = (23) cis(−π/6).