Au programme de ce chapitre
- I. L'ellipse
- II. L'hyperbole
- III. Reconnaitre une conique
- Savoir-faire
- Exercices types corrigés
- Teste-toi — vrai ou faux ?
- Pièges fréquents et astuces
- À retenir
La définition à retenir
Définition Soient deux points F et F′ (foyers) distants de 2c, et a > c. L'ellipse est le lieu des points M tels que MF + MF′ = 2a.
Avec F(c ; 0) et F′(−c ; 0) : x²/a² + y²/b² = 1, où b² = a² − c². Sommets : (±a ; 0) et (0 ; ±b). Excentricité e = c/a, avec 0 ≤ e < 1 (e = 0 : cercle).
Avec F(c ; 0) et F′(−c ; 0) : x²/a² + y²/b² = 1, où b² = a² − c². Sommets : (±a ; 0) et (0 ; ±b). Excentricité e = c/a, avec 0 ≤ e < 1 (e = 0 : cercle).
Un exemple corrigé
Exemple 9x² + 25y² = 225 ⇔ x²/25 + y²/9 = 1 : a = 5, b = 3, c = √(25 − 9) = 4. Foyers (±4 ; 0), sommets (±5 ; 0) et (0 ; ±3), e = 0,8.
Lexique
- ellipse
- lieu des points dont la somme des distances aux foyers est constante
- hyperbole
- lieu des points dont la différence des distances aux foyers est constante (en valeur absolue)
- excentricité
- rapport e = c/a qui mesure l'aplatissement d'une conique
- conique
- courbe obtenue en coupant un cône par un plan
Les erreurs fréquentes à éviter
Piège — deux relations différentes. Ellipse : c² = a² − b² avec c < a. Hyperbole : c² = a² + b² avec c > a. Si tu obtiens c > a pour une ellipse, tu as utilisé la mauvaise formule.
Piège — asymptotes b/a ou a/b ? La pente des asymptotes de x²/a² − y²/b² = 1 est ±b/a (et non a/b). Pour x²/4 − y²/12 = 1, la pente est √122 = √3.
Attention Ne confonds pas les relations : pour l'ellipse b² = a² − c² ; pour l'hyperbole b² = c² − a². Pour l'ellipse, le grand axe est porté par la variable qui a le plus grand dénominateur : x²/4 + y²/9 = 1 a son grand axe vertical.
L'astuce du prof
Astuce. Signe + entre les deux carrés : ellipse (ou cercle si les dénominateurs sont égaux). Signe − : hyperbole. Cette lecture rapide te dit déjà quelle relation entre a, b et c utiliser.
Exercices corrigés
Cherche d'abord seul, puis ouvre la correction.
Exercice 1 — Une ellipse horizontale
Pour l'ellipse x²/36 + y²/20 = 1, donne a, b, c, les foyers, les sommets et l'excentricité.
Voir la correction
Le plus grand dénominateur est sous x² : a² = 36, donc a = 6, et b² = 20. Alors c² = a² − b² = 16, donc c = 4. Les foyers sont (±4 ; 0), les sommets (±6 ; 0) et (0 ; ±√20) = (0 ; ±2√5). L'excentricité est e = c/a = 46 = 2/3.
Exercice 2 — Une ellipse verticale
Pour l'ellipse x²/5 + y²/9 = 1, détermine l'axe du grand axe et les foyers.
Voir la correction
Cette fois, le plus grand dénominateur 9 est sous y² : le grand axe est vertical, avec a² = 9 et b² = 5. Alors c² = 9 − 5 = 4, donc c = 2. Les foyers sont sur l'axe Oy : (0 ; ±2). Les sommets principaux sont (0 ; ±3) et l'excentricité vaut 2/3.